Maria Balcerowicz-Szkutnik Podstawy statystyki w przykładach i zadaniach Statystyka opisowa elementy wnioskowania statystycznego Bytom 2004 Redakcja: Magdalena Goik Recenzent: dr hab. Zygmunt Przybycin Spis treści ISBN 83-88587-86-2 Przedmowa ............. Rozdział I Analiza struktury zjawisk........ Zadania do samodzielnego rozwiązywania Rozdział III Elementy teorii współzależności cech .... Zadania do samodzielnego rozwiązywania Rozdział III Analiza dynamiki zjawisk........ Zadania do samodzielnego rozwiązywania Rozdział IV Wybrane zagadnienia statystyki matematycznej Zadania do samodzielnego rozwiązywania Rozdział V Przykładowe zadania testowe ...... Bibliografia 36 55 65 85 92 102 108 126 Copyright by Wv7c y sza Szkoła Ekonomii i Administracji w By tomiu Przedmowa Przedstawiony skrypt stanowi opracowanie będące, w swoim zamierzeniu uzupełnieniem istniejącej szerokiej literatury przedmiotu o nową pozycję, kierowaną przede wszystkim do studentów uczelni ekonomicznych. Skrypt obejmuje zakres statystyki opisowej prezentowanej w ramach wykładu ze statystyki dla studiów licencjackich i magisterskich uczelni ekonomicznych, głównie studiujących w trybie zaocznym i wieczorowym. W prezentowanej wersji skryptu pominięto treści teoretyczne, zwracając uwagę na techniki rozwiązywania zadań jako, że ten element wraz z umiejętnością aplikacji teoretycznych aspektów statystyki sprawia studentom najwięcej trudności. Z tego też względu szczególną uwagę skierowano na przedstawienie typowych i wariantowych sposobów rozważania problemów statystycznych w licznych rozwiązanych w skrypcie przykładach. Opracowanie podzielono na cztery zasadnicze części (zgodnie z wymogami przedmiotu) i w każdej z nich przedstawiono kilkanaście zadań rozwiązanych w szczegółowy sposób z podaniem pełnej postaci wykorzystanych wzorów i warunkami ich zastosowania oraz od 25 do 30 zadań do samodzielnego rozwiązania. Osobną część stanowi propozycja 50 zadań testowych (każde do rozwiązania w ciągu przeciętnie 3 minut) jako, że te formy sprawdzania wiedzy studentów cieszą się coraz większą popularnością. Zdecydowana część zadań ma charakter autorski i tylko nieliczne są modyfikacjami zadań zamieszczonych w już istniejących podręcznikach. Jako podręczniki, uzupełniające wykłady o charakterze teoretycznym, student może wykorzystać dowolny podręcznik z zamieszczonego spisu literatury, a głównie z podręcznika Mieczysława Sobczyka. Niniejszy skrypt stanowi tylko część tematów realizowanych w ramach przedmiotu statystyka. W zamierzeniu autora jest przygotowanie części II, w której zamieszczone będą podstawy teoretyczne wszystkich tematów objętych gramem studiów ze statystyki wraz z zagadnieniami nie zamieszczonymi :m opracowaniu, a dotyczącymi tematów z zakresu rachunku prawdopodo-istwa, estymacji parametrów zbiorowości statystycznej i weryfikacji hipotez ystycznych. Rozdział I Analiza struktury zjawisk 3 Zadanie 1. W sześcioosobowej grupie pracowników wpłaty do urzędów skarbowych z tytułu podatku dochodowego od osób fizycznych były za rok 1999 następujące: 2039,40 zł; 2699,40 zł; 3670,20 zł; 2236,80 zł; 1602,30 z; 2963,70 zł. Jaka była wartość przeciętna wpłaconego do urzędów skarbowych podatku? vr Rozwiązanie. Dla ustalenia wartości przeciętnej w przypadku szeregu wyliczającego wykorz-stuje się wzór w następującej postaci: X, +x- ' J.J. gdzie odpowiednio: x - oznaczenie wartości przeciętnej (wartości średniej) x. - realizacja cechy statystycznej n - liczba realizacji cechy statystycznej W naszym przypadku __ 2039,4 + 2699,4 + 3670,2 + 2236,8 + 1602,3 + 2963,7 [1] co oznacza, że przeciętna wpłata podatku dochodowego od osób fizycznych do urzędu skarbowego w tej grupie pracowników była równo 2535,3 zł. 3 Zadanie 2. Ustalić średni wzrost 10-letniego chłopca w szkołach podstawowych miasta Siemianowice dysponując danymi uzyskanymi z kart lekarskich pielęgniarek szkolnych. 7 Rozdział I t Rozwiązanie. Ze względu na postać szeregu statystycznego (szereg punktowy), w którym zaprezentowano dane do oceny poziomu przeciętnego wykorzystamy średnią ważoną zgodnie z wzorem: Wzrost w cm 150 151 152 153 154 155 156 Razem Liczba dzieci 25 35 40 45 40 30 20 235 Źródło: dane umowne X = x1n1 +x2n2 [2] ni +n2 i-l gdzie: x x. n. oznaczenie wartości przeciętnej (przeciętnej); realizacja cechy statystycznej; liczebność cząstkowa realizacji x., czyli liczba jej powtórzeń; liczba różnych realizacji cechy statystycznej. W naszym przypadku otrzymujemy: - 150-25+ 151-35+ 152-40 + 153-45+ 154-40 + 155-30+ 156-20 _ 35330 = 1J2 89 _ 153cm 25 + 35 + 40 + 45 + 40 + 30 + 20 35 ' Cm O Zadanie 3. Dla celów sprawozdawczości finansowej ustalić średnie wynagrodzenie w pierwszym kwartale 1999 r. pracowników spółki akcyjnej „Ania" w Białej Podlaskiej dysponując danymi. Wynagrodzenie w zł (xid'x„) Liczba pracowników ni 1000-1200 65 1200-1400 110 1400-1600 42 1600-1800 83 300 ,f Zrodlo: dane umowne Rozwiązanie. Ze względu na postać szeregu statystycznego (szereg przedziałowy) w postaci, 8 którego przedstawiono dane źródłowe do wyznaczenia miary poziomu przeciętnego wykorzystamy średnią ważoną w postaci: x2n k In, i 2n2 xnn n"k n, +n2 [3] Izie: x X - oznaczenie miernika; - środek przedziału klasowego wyznaczamy jako średnie arytmetyczne granic przedziału (x.d - dolna granica przedziału i x. — górna granica , . , > „ Xid + Xig przedziału) x =----------- ; n. - liczebności cząstkowe, czyli liczba elementów przedziału o numerze „i"; k - liczba przedziałów klasowych szeregu. W naszym przypadku wartość średnia jest równa: 1100-65+ 1300-110+ 1500-42+ 1700-83 418600 65 + 110 + 42 + 83 300 = 1395,33 co oznacza, że średnia płaca pracownika spółki akcyjnej „Ania" w pierwszym kwartale 1999 roku była równa 1395,33 zł. O Zadanie 4. Na podstawie informacji zamieszczonych w szeregu statystycznym, przedstawionym w postaci poniższej tablicy, ustalić poziom średni cechy, wskaźniki struktury oraz dokonać prezentacji graficznej przedstawionego materiału statystycznego. Tablica Zakłady usługowe w Gdańsku według obrotów osiągniętych w styczniu 1999 r. i i Obroty w zł (**-*,.) 10 000-14 000 14 000-18 000 18 000-22 000 22 000-26 000 26 000-30 000 Razem Liczba Zakładów 306 408 629 272 85 1700 Rozdział I Analiza struktury zjawisk. 1r Rozwiązanie. Dla wyznaczenia wartości średniej wykorzystamy wzór na średnią ważoną (patrz zad. 3), czyli otrzymamy: _ 12000-306+ 16000-408+ 20000-629+ 24000-272+ 2800-85 3168800 ,„„ , x =------------------------------------------------------------------------=----------= 18640 zł 1700 1700 co oznacza, że średni poziom obrotów w rozważanej grupie zakładów usługowych jest równy 18 640 zł. Wskaźniki struktury lub inaczej częstości wyznaczamy jako ilorazy liczebności cząstkowych i liczebności ogólnej przyjmując oznaczenie: n j =— przy czym n =1 Otrzymujemy odpowiednio: 306 406 n-,A 629 w, =^- = 0,18; w2= —= 0,24; w3=-------- 1700 1700 1700 1700 w5 = 1700 co oznacza, że 18% zakładów usługowych miało obroty w wysokości od 10 tys. do 14 tys. zł; 24% zakładów miało obroty w wysokości od 14 tys. zł do 18 i dalej interpretując 5% zakładów miało obroty od 26 tys. do 30 tys. zł. Do prezentacji graficznej możemy wybrać dowolną postać wykresu statystycznego: wykres powierzchniowy (koło) lub słupkowy, czyli klasyczny histogram. Wykres kołowy będzie miał postać: Natomiast histogram przedstawiony w układzie współrzędnych w( (100%) 40 - 30 -20 - 10 - obroty w tys. 10 14 18 22 26 30 Rys. 1 Na podstawie histogramu możemy wyznaczyć diagram jako łamaną łączącą punkty o współrzędnych (x,n.) lub (x, w.). Wygładzona postać diagramu tworzy krzywą liczebności, której kształt pozwala na określenie rodzaju asymetrii rozkładu analizowanej cechy. W przypadku analizowanej cechy stwierdzamy asymetrię lewostronną. 3 Zadanie 5. Akcje Spółki Akcyjnej „Kant" w czasie kolejnych notowań giełdowych w roku 1999 osiągnęły następujące wartości (w zł): 26, 18, 30, 20, 23, 25, 19, 28, 20, 24, 18, 28, 21, 26, 25, 23, 21, 26, 20, 28, 25, 21, 26, 20, 19, 19, 20, 22, 23, 18, 19, 31, 23, 28, 25, 19, 21, 26, 26, 20, 25, 26, 20, 21, 2.6, 21, 20, 21, 26, 30, 21, 21, 20, 29, 28, 20, 21, 18, 20, 22, 21, 26, 19, 31, 25, 26, 26, 25, 20, 21, 26, 30, 28, 26, 30, 22, 28, 25, 23, 21, 20, 26, 20, 21, 26, 20, 21, 20, 21,29,21. Wskaż dominującą cenę akcji Spółki „Kant" na giełdzie. ^ Rozwiązanie. Wartość dominująca dla szeregu wyliczającego lub punktowego jest realizacją cechy statystycznej o największej liczbie powtórzeń lub największej liczebności cząstkowej. Zatem najważniejszym elementem pracy będzie uporządkowanie szeregu w sposób monotoniczny i określenie wartości dominującej. Wybieramy najpierw najmniejszą (xmjn) i największą (xmax) realizację cechy x_,_ = 18 i x_... = 31 10 11 Rozdział I Analiza struktury zjawisk i porządkujemy szereg monotonicznie: 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 26, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 29, 30, 30, 30, 30,31,31. Okazało się, że najczęściej w roku 1999 notowania akcji Spółki „Kant" osiągnęły cenę 21 zł i tę wartość uznajemy za dominantę. O Zadanie 6. Na podstawie informacji zawartej w tablicy określić dominujący wiek pracownika zatrudnionego na stanowisku kierowniczym w przedsiębiorstwach budowlanych w Nowym Sączu w lipcu 1999 roku. Tablica Pracownicy przedsiębiorstw budowlanych w Nowym Sączu w lipcu 1999 roku wg wieku Źródło: dane umowne 4Ł Rozwiązanie. Wyznaczenie dominanty dla szeregu przedziałowego wymaga zastosowania wzoru interpolacyjnego postaci ~nD-i nD-nD_!+nD-nD+1 ¦¦ AxT [4] gdzie odpowiednio: D - oznaczenie miernika (dominanty, wartości najczęstszej lub mody); xD - początek przedziału miernika, czyli przedziału o największej liczebności cząstkowej; nD, nD ,, nD+1 - liczebności cząstkowe przedziałów dominanty i sąsiednich, czyli poprzedzającego i następującego po przedziale dominanty; AxD - długość przedziału miernika, czyli różnica pomiędzy końcem i początkiem przedziału AxD = x. - x.d. Konieczne jest przy stosowaniu tego wzoru założenie, że długości przedziałów klasowych w rozważanym szeregu są równe lub jego osłabiona postać, że równe co do długości są co najmniej trzy przedziały klasowe - dominanty i sąsiednie. W naszym przypadku otrzymujemy: 12 = 30 + 45-15 45-15 + 45-9 ,10 = 30 + 4,545 = 34,55 « 34,5 lat czyli najczęściej na stanowiskach kierowniczych w przedsiębiorstwach prywatnych zatrudniano pracowników w wieku około 34,5 lat. Dominantę możemy wyznaczyć również metodą graficzną. Niezbędny jest do tego fragment histogramu (wykresu słupkowego) obejmujący przedział dominanty i dwa sąsiednie: 40 -f-30 20 Rys. 2 30 D 34,5 Łączymy odcinkami wierzchołki słupków histogramowych odpowiadających początkom przedziału dominanty i następującego po nim oraz końcowi przedziału dominanty i przedziału poprzedzającego ten przedział. Punkt przecięcia tych odcinków zrzutowany na oś realizacji cechy pozwala na wyznaczenie wartości dominanty. W naszym przypadku jest to wartość zbliżona do 34,5. O Zadanie 7. Dla następującego szeregu statystycznego wyznaczyć dominantę metodą analityczną i graficzną. 20-30 30-50 50-80 80-100 n. 10 40 45 20 Źródło: dane umowne ^r Rozwiązanie. Przedstawiony szereg statystyczny nie spełnia założeń niezbędnych do wyznaczenia dominanty w oparciu o wzór przedstawiony w zadaniu 6., gdyż przedziały klasowe nie są równej długości. Konieczne jest zatem przeprowadzenie pewnego rodzaju procedur normalizujących przedstawiony szereg, czyli odniesienie liczebności cząstkowych do jednostki długości przedziału klasowego, co 13 Rozdział I oznacza zastąpienie liczebności tzw. gęstościami przedziałów (oznaczającymi dokładnie natężenie liczebności na jednostkę długości przedziału klasowego). Gęstości oznaczamy symbolem g. i wyznaczamy jako ilorazy liczebności i długości poszczególnych przedziałów. :—- i = 1,2 ... k [5] Mamy zatem odpowiednio: Z\x, = 10 10 . Ax2 = 20 40 4x3 = 30 Ax4 = 20 20 Warto przy tym zauważyć, że nastąpiło przesunięcie dominanty: z trzeciego o granicach 50-80 do drugiego o granicach 30-50 (przedział dominanty to przedział o największym natężeniu liczebności cechy na jednostkę długości przedziału klasowego - co w przypadku przedziałów o równych długościach pokrywa się z największą liczebnością cząstkową). Wzór określający dominantę ma zatem postać: gD-SD-1 gD-SD-1+gD-gD+l gdzie oznaczenia są analogiczne jak w zadaniu 6. W naszym przypadku otrzymaliśmy: •Axr D = 30 + - Również w metodzie graficznej otrzymamy odpowiednio: Analiza struktury zjawisk Rys. 3 3 Zadanie 8. Wydatki na zakup prasy w badanej grupie osób były następujące: 20,0; 25,0; 34,0; 28,8; 28,8; 47,0; 60,2; 20,0; 28,8; 20,0; 34,0; 28,8; 47,0; 20,0; 60,2; 20,0; 34,0; 60,2; 25,0; 25,0; 27,0; 28,8; 25,0; 20,0; 28,8; 60,2; 28,8; 28,8; 60,2; 34,0; 28,8; 28,8; 28,8. Ustalić wartości kwartyli rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego oraz zinterpretować je. $ Rozwiązanie. Wyznaczenie miar pozycyjnych w szeregu wyliczającym wymaga jego uporządkowanej w sposób monotoniczny postaci. Zatem pierwszy etap pracy polegać będzie na monotonicznym uporządkowaniu przedstawionych danych. Otrzymujemy szereg w postaci ciągu liczb: 20,0; 20,0; 20,0; 20,0; 20,0; 20,0; 25,0; 25,0; 25,0; 25,0; 27,0; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 28,8; 34,0; 34,0; 34,0; 34,0; 47,0; 47,0; 60,2; 60,2; 60,2; 60,2; 60,2. Liczebność próby statystycznej jest równa 33 i kwartyle dla szeregu wyliczającego wyznaczamy zgodnie z następującymi zasadami. Najprostszym do wyznaczenia kwartylem jest kwartyl drugiego rzędu, czyli mediana (Me) lub inaczej wartość środkowa. W przypadku szeregu o nieparzystej n + 1 liczbie jednostek jest to realizacja cechy o numerze ~~i— , czyli u . par2ystej wyrazów o numerze - i - + ] , [6] 14 czyli 15 Analiza struktury zjawisk Me = 2 2 W przedstawionym powyżej szeregu jest odpowiednio: Me = x33+i =xl7 =28,8 zł co oznacza, że połowa spośród rozważanej grupy osób wydaje na prasę co najmniej 28,8 zł lub inaczej połowa spośród analizowanych osób wydaje na prasę nie więcej niż 28,8 zł. Kwartyl rzędu pierwszego (Q,) wyznaczamy w szeregu wyliczającym jako medianę pierwszej połowy realizacji cechy, czyli jest to w naszym przypadku wartość x8, a kwartyl rzędu trzeciego (0^,,) to mediana drugiej połowy realizacji cechy, czyli w przypadku rozważanego szeregu realizacja x25. Wyznaczone wartości kwartyli interpretuje się następująco: dla kwartyla Qj 25% ogółu osób w rozważanej grupie wydaje na zakup prasy co najwyżej 25 zł oraz 75% osób wydaje na prasę na co najmniej 75%; dla kwartyla Q,n 25% osób wydaje na prasę nie mniej niż 34 zł, a 75% osób z rozważanej grupy wydaje co najwyżej 34 zł. Dla ułatwienia interpretacji kwartyli posługujemy się również pomocniczym rysunkiem. Rvs. 4 Nadstawie następujących informacji ustalić przeciętny wiek kobiety zawierającej związek małżeński w Chełmie w 1999 roku. Tablica Kobiety zawierające związek małżeński w Chełmie w 1999 roku wg wieku Wiek kobiety w latach do 20 20-29 30-39 40-49 ponad 50 Razem Liczba kobiet 182 219 162 127 84 774 Źródło: dane umowne 4' Rozwiązanie. Ze względu na tzw. niepełną informację statystyczną, czyli niedomknięte skrajne przedziały klasowe miarą poziomu średniego (przeciętnego) musi być w miejsce wartości średniej mediana. Dla szeregu przedziałowego wyznaczamy ją zgodnie z zależnością: Me = xM„ + 0,5n-cumn. Me lMe Me [7] gdzie odpowiednio: Me - oznaczenie miernika; xMe ~ początekprzedziału mediany, czyli przedziału, wktórym znajduje się wyraz n o numerze — ; 2 AxMe - długość przedziału mediany; cuma- skumulowane (zsumowane) liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany; nMe - liczebność cząstkowa przedziału mediany. Niezbędna jest zatem skumulowana (czyli zsumowana) postać szeregu przedziałowego - czyli szereg, w którym przedziałowi klasowemu przyporządkowana jest suma liczebności tego przedziału i wszystkich przedziałów poprzedzających. Ma on postać: Wiek kobiety Liczba kobiet Skumulowana liczba kobiet do 20 lat 20-29 30-39 40-49 ponad 50 182 219 162 127 84 182 401 563 690 774 Razem 774 X Przedział mediany, czyli przedział zawierający element o numerze — = 387, to przedział o granicach 20-29 lat. Możemy zatem wyznaczyć wartość miernika zgodnie z przedstawionym powyżej wzorem: 16 17 Analiza struktury zjawisk Me = 20+ -10 = 2936 lat 219 co oznacza, że przeciętny wiek kobiety zawierajęcej związek małżeński w Chełmie w 1999 r. to wiek około 29,5 lat, a dokładniej połowa kobiet zawierających związek małżeński w Chełmie w 1999 r. nie przekroczyła wieku 29,5 lat. 3 Zadanie 10. Dokonać oceny poziomu wewnętrznego zróżnicowania oraz asymetrii na podstawie danych zamieszczonych w tablicy przedstawiających tygodniowe wydatki na zakup biletów MZK ponoszone przez jednoosobowe rodziny emeryckie w maju 2000 r. Tablica Wydatki na zakup biletów MZK ponoszone przez rodziny emeryckie jednoosobowe w V/02 ' Wy?*tki^ł I • - I o ,0 I ,,_,* I lń_20 I 20_24 I 24-28 I 28-32 (x ,,x. ) ____________V id' ig'___________ Liczba emerytów Źródto: dane umowne r~ Rozwiązanie. Absolutną miarą zróżnicowania jest odchylenie standardowe S(x) wyznaczane jako pierwiastek z wariancji S2(x), czyli średniej arytmetycznej sumy kwadratów odchyleń realizacji cechy od swojej wartości średniej. W przypadku szeregu przedziałowego wariancję liczymy zgodnie z wzorem: 16-20 10 20-24 8 [8] rii=i Względnym miernikiem poziomu zróżnicowania jest współczynnik zmienności, czyli iloraz odchylenia standardowego i wartości średniej. v>=1r [9] Miernikiem asymetrii może być natomiast zestandaryzowany moment centralny rzędu trzeciego postaci: [10] A =- S3(x) lub współczynnik asymetrii Pearsonea postaci: Ap = x-D S(x) [U] W przypadku szeregu punktowego lub wyliczającego znaczne uproszczenie obliczeń uzyskuje się przez ich tabelaryczny zapis (przedstawiono go poniżej). Tablica robocza do wyznaczania miar klasycznych położenia, rozproszenia i asymetrii (*id.*J n. X. x.'ni x,-x (x,-x)2 (x-x)2n. (x.-x)3 n. 4-8 10 6 60 -9,02 81,3604 813,604 -7338,7080 8-12 20 10 200 -5,02 25,2004 504,008 -2530,1201 12-16 31 14 434 -1,02 1,0404 32,2524 -32,8974 16-18 10 18 180 2,98 8,8804 88,804 264,6359 18-22 8 22 176 6,98 48,7204 389,7632 2720,5471 22-26 7 26 182 10,98 120,5604 843,9228 9266,2723 26-32 4 30 120 14,98 224,4004 897,6016 13 446,071 Razem 90 X 1352 X X 3569,956 15795,8 Źródło: dane umowne Wybierając odpowiednie sumy w tablicy roboczej otrzymujemy: _ 1352 x = 90 = 15,02 3569,956 90 S(x) = Vz= f\ T5of '100% = — •15795,8 A. = 90_____ (6,298)3 = 0,7025 i możemy stwierdzić co następuje: • odchylenie standardowe równe 6,298 <*> 6,3 oznacza, że przeciętne wydatki na zakup biletów MZK różnią się od wydatków średnich równych 15,02 zł o ± 6,3 zł; • współczynnik zmienności równy 41,93% oznacza, że odchylenie standardowe 19 Analiza struktury zjawisk stanowi około 42% wartości średniej, co świadczy o silnym wewnętrznym zróżnicowaniu jednoosobowych rodzin emeryckich ze względu na wielkość wydatków na bilety MZK; • współczynnik asymetrii równy 0,7 oznacza silną asymetrię prawostronną, czyli , że wydatki na zakup biletów w większej części rozważanej grupy rodzin nie przekraczają poziomu średniego równego 15,02 zł. 3 Zadanie 11. Na postawie danych zamieszczonych w tablicy dotyczących struktury wieku bezrobotnych kobiet i mężczyzn w dniu 30 czerwca 1998 r. (w tys.) dokonać oceny podobieństwa tych struktur. ?r Rozwiązanie. Wiek Liczba kobiet Liczba mężczyzn Źródto: dane umowne Oceny stopnia podobieństwa struktur dokonujemy za pomocą względnego wskaźnika podobieństwa struktur postaci: [12] czyli ilorazu sum mniejszych wskaźników struktury i większych wskaźników struktury określonych dla każdego z przedziałów analizowanych szeregów (przy czym W; = —L ). n Struktura bezrobotnych wg pici i wieku (w tys.] Odpowiednie obliczenia przedstawimy w tablicy: Z = 1,0385 = 0,9022 Ponieważ wartość miernika jest zbliżona do 1 (czyli do struktur identycznych) możemy stwierdzić, że struktura bezrobotnych kobiet i mężczyzn ze względu na wiek były podobne). O Zadanie 12. Czterech robotników wykonywało w czasie ośmiogodzinnego dnia pracy ten sam detal, przy czym czas poświęcony na wykonanie detalu był różny. Pierwszy robotnik wykonywał detal w ciągu 4 minut, drugi 3 minut, trzeci - 5 minut i czwarty również 4 minut. Obliczyć jaki był średni czas pracy robotnika nad jednym detalem. *r Rozwiązanie. Ze względu na specyfikę mianowania analizowanej cechy (w min./szt.) poziom przeciętny ustalamy za pomocą zmodyfikowanej postaci średniej arytmetycznej, czyli średniej harmonicznej: XH =¦ [13] X; czyli XH = 1+1+1+1 H 1 1 1 1 15 + 12 + 20 + 15 -+-+-+- ---------------- 4 5 3 4 60 4-60 240 -------=-----= 3,87 min/ szt 62 62 Poprawność obliczeń możemy sprawdzić metodą bezpośredniego ustalenia zależności łącznego czasu poświęconego na wyprodukowanie określonego liczby detali. Każdy z robotników pracował 480 min (razem 4 x 480 = 1920 min) i wytworzyli odpowiednio: I 480 : 4 = l2° części II 480 : 3 = l6° części III 480 : 5 = 96 części IV 480 : 4 = l^P części Razem 496 części 21 Rozdział I stanowi około 42% wartości średniej, co świadczy o silnym wewnętrznym zróżnicowaniu jednoosobowych rodzin emeryckich ze względu na wielkość wydatków na bilety MZK; • współczynnik asymetrii równy 0,7 oznacza silną asymetrię prawostronną, czyli że wydatki na zakup biletów w większej części rozważanej grupy rodzin nie przekraczają poziomu średniego równego 15,02 zł. O Zadanie 11. Na postawie danych zamieszczonych w tablicy dotyczących struktury wieku bezrobotnych kobiet i mężczyzn w dniu 30 czerwca 1998 r. (w tys.) dokonać oceny podobieństwa tych struktur. •»' Rozwiązanie. Tablica Struktura bezrobotnych wg pici i wieku (w tys.) Analiza struktury zjawisk Wiek do 25 lat 25-34 35-44 45-54 Ponad 55 lat Razem 409,7 390,1 309,2 99,4 12,0 1220,4 Liczba mężczyzn 353,8 311,8 271,1 110,3 29,3 1076,3 Źródło: dane umowne Oceny stopnia podobieństwa struktur dokonujemy za pomocą względnego wskaźnika podobieństwa struktur postaci: k Z = [12] czyli ilorazu sum mniejszych wskaźników struktury i większych wskaźników struktury określonych dla każdego z przedziałów analizowanych szeregów (przy czym Wj = — ). n Odpowiednie obliczenia przedstawimy w tablicy: Wiek w.k min(w.) max(w.) do 25 25-34 35-44 45-54 pow. 55 0,3358 0,3196 0,2534 0,0814 0,0098 0,3287 0,2897 0,2519 0,1025 0,0272 0,3287 0,2897 0,2519 0,0814 0,0098 0,3358 0,3196 0,2534 0,1025 0,0272 Suma 1,0000 1,0000 0,9615 1,0385 20 Z = 1,0385 = 0,9022 Ponieważ wartość miernika jest zbliżona do 1 (czyli do struktur identycznych) możemy stwierdzić, że struktura bezrobotnych kobiet i mężczyzn ze względu na wiek były podobne). S Zadanie 12. Czterech robotników wykonywało w czasie ośmiogodzinnego dnia pracy ten sam detal, przy czym czas poświęcony na wykonanie detalu był różny. Pierwszy robotnik wykonywał detal w ciągu 4 minut, drugi 3 minut, trzeci - 5 minut i czwarty również 4 minut. Obliczyć jaki był średni czas pracy robotnika nad jednym detalem. *r Rozwiązanie. Ze względu na specyfikę mianowania analizowanej cechy (w min./szt.) poziom przeciętny ustalamy za pomocą zmodyfikowanej postaci średniej arytmetycznej, czyli średniej harmonicznej: x - XH ~ [13] czyli x„ =• 1+1+1+1 4 • 60 240 1 4 1 - 4 15 + 12 + 20 + 15 60 62 62 = 3,87 min/szt Poprawność obliczeń możemy sprawdzić metodą bezpośredniego ustalenia zależności łącznego czasu poświęconego na wyprodukowanie określonego liczby detali. Każdy z robotników pracował 480 min (razem 4 x 480 = 1920 min) i wytworzyli odpowiednio: I 480 : 4 = 120 części II 480 : 3 = 160 części III 480 : 5 = 96 części IV 480 : 4 = 120 części Razem 496 części 21 Rozdział I Analiza struktury zjawisk _ 1920 min „__.., x =-------------= 3,87 min/ szt 496 szt zatem możemy stwierdzić, że przeciętny czas wykonania 1 detalu przez czterech robotników jest równy 3,87 minuty. O Zadanie 13. W ramach przeprowadzonego przez GUS w maju 1999 r. Badania Aktywności Ekonomicznej Ludności pytano również o wykonywanie pracy dodatkowej poza głównym miejscem pracy. Dla losowo wybranych 100 osób mających dodatkowe miejsce pracy otrzymano następujące parametry rozkładu wg wieku: D = 38,7 lat; Vz = 25,64%; A = 0,04 Scharakteryzuj przeciętny wiek tych osób. Naszkicuj krzywą liczebności i zaznacz położenie miar tendencji centralnej. łr Rozwiązanie. Miarą poziomu przeciętnego jest wartość średnia i wyznaczymy ją z wzorów Pearsone'a określających współczynnik zmienności i współczynnik asymetrii. S(x) V, = —^-L x oraz A„ = P x-D ------- S(x) [14] S(x) = Vz-x i Ap- S(x) = x-38,7 dalej otrzymujemy S(x) = 0,2564x i 0,04 • S(x) = x- 38,7 0,04-0,2564-x = x-38,7 x-0,01026x = 38,7 x = 39,1 lat co oznacza, że średni wiek osoby pracującej dodatkowo poza głównym miejscem pracy to 39,1 lat. Uzupełniającą miarą centralną jest mediana. Wyznaczymy ją z przybliżonej równości Pearsone'a postaci: x_D = 3(x-Me) [15] Skąd mamy: 22 2x + D 2-39,1 + 38,7 Wszystkie miary centralne mają zbliżone wartości, co oznacza, że rozkład analizowanej cechy jest niemal symetryczny. Potwierdza to również miernik asymetrii równy 0,04. S Zadanie 14. Czy na podstawie poniższych informacji można obliczyć wartość mediany? a) ogólna liczebność zbiorowości: 150; b) dolna granica przedziału mediany: 10; c) rozpiętość przedziału mediany: 2; d) suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany: 60; e) suma liczebności przedziałów wraz z przedziałem mediany: 75. Wykonać niezbędne obliczenia. t Rozwiązanie. Zapiszmy podane informacje za pomocą symboliki statystycznej wykorzystywanej w prezentowanym uprzednio wzorze mediany: n = 150 v = io cumn._, = 60 cum n. = 75 zatem po podstawieniu tych wartości liczbowych do wzoru Me=x Me 'Me 15 Otrzymujemy, że Me = 12. O Zadanie 15. Grupę 150 pracowników pewnego przedsiębiorstwa zbadano pod względem wysokości premii miesięcznej i otrzymano następujące informacje: I wydział: xl = 400 zł; D, = 350 zł; A = 0,5; II wydział: x„ = 300 zł; DII = 330 zł; Ap = -0,5. Ustalić współczynnik zmienności i typowy przedział zmienności dla ogółu pracowników przedsiębiorstwa wiedząc, że proporcje liczebnościowe zatrudnionych pracowników wydziałów I i II mają się jak 2:1. t Rozwiązanie. Do ustalenia mierników rozproszenia zbiorowości podzielonej na rozłączne podgrupy wykorzystamy miary ogólne, czyli tzw. średnią ze średnich i wariancję 23 Analiza struktury zjawisk ogólną jako sumę wariancji wewnątrzgrupowych i międzygrupowych. Konieczna jest przy tym znajomość mierników (średniej i wariancji) w każdej z podgrup. Odpowiednie wzory mają postać: n [16] gdzie: x X. n. oraz gdzie średnia ogólna; średnia w każdej podgrupie; liczebność i-tej podgrupy. S20g(x) = [17] oraz przy czym S2(x) - wariancja w i-tej grupie. Często pierwszy składnik sumy nazywamy jest średnią z wariancji, a drugi wariancją ze średnich. W naszym przypadku konieczne jest wyznaczenie dla każdego wydziału odchylenia standardowego i potem wykorzystania proporcji Hczeb- »/ _2 ^ ¦ nosciowej — , . Przekształcając wzór A otrzymujemy: . . a x"-D S(x) = x-D [18] czyli x,-D, 400-350 50 xn-D„ 300-330 ^ apii u';) Dalej otrzymujemy zależność n, = 2n„ i ze wzorów ogólnych: = 400-2n[I+300-nII 800 + 300 x =------------Li-----------------=---------------= 366,67 zł 3n„ 3 52(X) =------------(1002 • 2n„ + 602 • n„) = - ¦ (20000 + 3600)= - ¦ 23600 = 7866,67 2nn+nn 3 3 S2(x) =------l-------((400-366,67)2 -2nn +(300-366,67)2nn) = 2nn+nnv = - • (2221,7778 + 4444,8889)= 2222,2222 S2(x) = 10088,888 skąd S (x) = 100,44 Ogólny współczynnik zmienności jako iloraz odchylenia standardowego i wartości średniej jest równy: Sog(x) 100,44 \r _ p____ — = 0,2739 x 366,67 Typowy przedział zmienności ustalamy jako przedział o granicach odpowied- nio: (x-S(x);x + s(x)) czyli w naszym przypadku dla ogółu pracowników granice przedziału typowego to: (366,67 -100,44; 366,67 + 100,44) Xtype (266,23; 467,11) 25 24 Analiza struktury zjawisk ogólną jako sumę wariancji wewnątrzgrupowych i międzygrupowych. Konieczna jest przy tym znajomość mierników (średniej i wariancji) w każdej z podgrup. Odpowiednie wzory mają postać: [16] gdzie: x X. n. oraz gdzie przy czym - średnia ogólna; - średnia w każdej podgrupie; - liczebność i-tej podgrupy. [17] oraz S2 (x) - wariancja w i-tej grupie. Często pierwszy składnik sumy nazywamy jest średnią z wariancji, a drugi wariancją ze średnich. W naszym przypadku konieczne jest wyznaczenie dla każdego wydziału odchylenia standardowego i potem wykorzystania proporcji liczeb- nosciowej 1 1 Przekształcając wzór A otrzymujemy: A -^ p S(x) S(x) = x-D [18] czyli 400-350 0,5 0,5 = ^ = 100 24 n-Dn 300-330 = 60 Pn Dalej otrzymujemy zależność nl = 2nn i ze wzorów ogólnych: = 400 • 2n„ + 300• n„ _ 800 + 300 X — ¦ 3nT = 366,67 zł S\x) =-----l------(1002 • 2n„ + 602 • n„) = - • (20000 + 3600)= - ¦ 23600 = 7866,67 2nn + nn 3 3 S2(x) =-----l------((400-366,67)2 -2nn +(300-366,67)2nn) = 7ti _L n -^ 2nn+nn 1 = - • (2221,7778 + 4444,8889)= 2222,2222 S2(x) = 10088,888 skąd S (x) = 100,44 Ogólny współczynnik zmienności jako iloraz odchylenia standardowego i wartości średniej jest równy: S^ 100,44 x 366,67 Typowy przedział zmienności ustalamy jako przedział o granicach odpowiednio: (x-S(x);x + s(x)} czyli w naszym przypadku dla ogółu pracowników granice przedziału typowego to: (366,67 -100,44; 366,67 + 100,44) Xtype (266,23; 467,11) 25 Zadania do samodzielnego rozwiązywania Zadania do samodzielnego rozwiązywania Lj Zadanie 1. Na podstawie danych zawartych w tablicy 1 przedstawić: a). Strukturę pracowników pracujących na stanowiskach robotniczych ze względu na udział dochodów męża w ogólnych dochodach rodziny oraz zilustrować ten szereg graficznie. b). Strukturę rodzin ze względu na miesięczny dochód na osobę (wraz z interpretacją graficzną). c). Zbudować tablicę przedstawiającą łącznie strukturę zbiorowości ze względu na dwie cechy - wiek męża i wiek żony. d). Zbudować tablicę dwudzielną ze względu na ilość dzieci w rodzinie i ilość izb w mieszkaniu, e). Wybrać cechę niemierzalną i dokonać klasyfikacji struktury ze względu na nią oraz zilustrować podział graficznie. Tablica 1 Miesięczny dochód na osobę (zł) Udział doch. męża w doch rodź. w % Lp. Udział doch. męża w doch. rodź. w % Liczba dzieci w rodź. Liczba izb w mieszkaniu Miesięczny dochód na osobę (zł) Posiada samochód Wiek męża Wiek żony 10. 64 1 2 860 tak 39 31 11. 67 1 3 880 tak 52 51 12. 68 3 4 830 nie 44 51 13. 70 1 3 1050 tak 38 33 14. 51 4 4 980 nie 60 49 15. 60 0 2 753 nie 56 51 16. 41 2 2 607 nie 46 38 17. 72 1 3 650 nie 43 38 18. 56 0 1 632 nie 26 24 19. 60 2 1 593 nie 42 39 20. 53 1 1 395 nie 30 28 21. 50 0 2 683 nie 25 22 22. 80 3 3 1020 tak 52 39 23. 100 2 4 700 nie 57 48 24. 63 I 2 680 nie 42 41 25. 50 0 2 950 nie 28 25 26. 63 1 2 1310 tak 37 36 27. 100 0 3 980 tak 33 30 28. 100 1 2 880 nie 39 35 29. 55 2 3 730 nie 40 41 30. 63 3 2 930 tak 62 58 31. 51 4 4 530 nie 61 53 32. 48 0 1 577 tak 40 30 33. 59 1 2 638 nie 70 65 34. 80 0 1 842 tak 29 26 35. 38 0 1 732 nie 31 35 36. 45 3 3 910 tak 48 45 37. 70 1 2 520 nie 57 55 38. 54 0 1 842 tak 45 47 39. 49 0 1 732 nie 42 40 40. 53 0 2 910 tak 35 30 41. 63 2 3 1000 tak 48 40 42. 67 1 2 1110 tak 26 25 43. 50 0 2 731 tak 29 30 44. 46 1 1 981 tak 48 47 26 27 Źródło: dane umowne »L> Zadanie 2. W 20-osobowej grupie studentów obserwowano liczbę godzin nauki w bibliotece w ciągu dnia. Uzyskano dane: 2; 2; 2,5; 3; 1; 1; 2,5; 2; 2; 1; 6; 1; 1,5; 1; 5; 2; 2; 3; 2; 1. Obliczyć średni dzienny czas poświęcony na naukę w bibliotece korzystając z odpowiedniej miary. Wybór miary uzasadnić. Jaki czas na naukę w bibliotece poświęcają studenci najczęściej? Ocenić poziom dyspersji i asymetrii. L> Zadanie 3. Ile wynosi dominanta wzrostu przedszkolaków, dla których dane indywidualne (w cm) są następujące: 120, 124, 124, 123, 120, 122, 124, 123, 124, 119? Ustalić środkową wartość wzrostu przedszkolaków. L> Zadanie 4. Narysuj histogram dla danych z poniższego szeregu, wyznacz medianę i dominantę. 20-30 1 30-50 I 50-80 iL> Zadanie 5. Dzienne zużycie energii elektrycznej (w kWh) w pewnym bloku mieszkalnym kształtowało się następująco: Zużycie energii I 2^4 I 4^6 I 6^8 I iMu I 10-12 ! 12-14 40 10 Liczba mieszkań _____6_____I 10 30 ______________ Oblicz średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, kwaryle, współczynnik zmienności oraz typowy obszar zmienności. L¦ Zadanie 6. Strukturę rodzin wg ilości członków rodziny w miejscowości L charakteryzuje poniższy rozkład. 28 Zadania do samodzielnego rozwiązywania Liczba członków rodziny 2 3 4 5 6 7 8 Odsetek rodzin 15 30 20 15 10 5 5 Za pomocą poznanych miar klasycznych i pozycyjnych dokonać analizy rozkładu rodzin wg liczby jej członków. L• Zadanie 7. Czterech rowerzystów przebyło ten sam odcinek drogi. Pierwszy przyjechał z prędkością 6 km/h, drugi z prędkością 10 km/h, trzeci z prędkością 12 km/h, czwarty z prędkością 15 km/h. Jaka była średnia prędkość rowerzystów? Jakiej należy użyć miary przeciętnej? 4a Zadanie 8. W 1999 r. u pewnego sadownika ceny 1 kg jabłek wynosiły: za I gatunek 3,5 zł, za II gatunek 2 zł, za III 1,5 z. Sadownik uzyskał ze sprzedaży 10 200 zł, w tym po 2100 zł za I i III i 6000 zł za II gatunek. Ile wynosiła średnia cena jabłek u sadownika? L» Zadanie 9. W mieszance jest 20 kg składnika po 15 zł za kilogram, 15 kg składnika po 20 zł za kilogram i 5 kg składnika po 30 zł za kilogram. Obliczyć cenę 1 kg mieszanki. <L> Zadanie 10. Na podstawie następujących danych oblicz średnią arytmetyczną i podaj jej interpretację Tablica Sklepy branży tekstylnej według obrotów osiągniętych w marcu 1998 r. Obroty w zł (xi„.xit) Liczba sklepów n, 8000-9000 23 9000-10000 45 10000-11000 67 11000-12000 55 12000-13000 10 Razem 200 Źródło: dane umowne Dokonaj analizy wielkości obrotów za pomocą znanych miar centralnych. *» Zadanie 11. Oblicz i podaj interpretację średniej arytmetycznej i wskaźników struktury, 29 Rozdziat I Zadania do samodzielnego rozwiązywania a także zaprezentuj graficznie (metoda powierzchniowa - koło) przedstawione w tablicy dane: Pracownicy: „ABA" S.A. w Skawinie wedtug wieku w 1998 roku Źródło: dane umowne Ustal dominujący wiek pracownika zakładu "ABA". Jakiego wieku nie przekroczyła połowa pracowników? Zadanie 12. Czas rozwiązywania pewnego zadania przez grupę uczniów przedstawia tablica: 12 Czas rozwiązywania w min. Liczba uczniów______|________________________ Przedstaw interpretację graficzną tego rozkładu i dokonaj analizy za pomocą miar centralnych. L• Zadanie 13. W jednym z domów studenckich przeprowadzono badanie dotyczące miesięcznych wydatków na cele kulturalne. Wyniki badania przedstawia tablica: Odsetek studentów_________10__________30 ~1 40 I 20 40-80 I 80-120 Wydatki miesięczne 120-160 160-200 Za pomocą klasycznych i pozycyjnych miar zmienności oceń zróżnicowanie badanej zbiorowości pod względem wydatków miesięcznych na cele kulturalne. L» Zadanie 14. Oblicz średnią powierzchnię indywidualnego gospodarstwa rolnego w pewnym województwie na podstawie poniższych danych. Powierzchnia gosp. w ha Skumulowany odsetek gosp. Największe obszarowo gospodarstwo miało w tym województwie 35 ha, a najmniejsze 1 ha. Dokonać następnie pełnej analizy struktury za pomocą poznanych miar klasycznych i pozycyjnych. Lj Zadanie 15. Zbadano dwie grupy na wydziałach Ekonomii i Administracji pod względem wzrostu. Uzyskano następujące wyniki: Wydział Ekonomi Wydział Administracji Mediana 170 cm Średnia arytmetyczna 170 cm Średnia arytmetyczna 168 cm Odchylenie standardowe 10 cm Wariancja 36 cm Współczynnik skośności 0,8 Dominanta 175 cm Mediana 164 cm Na podstawie tych informacji przeprowadzić wszechstronną analizę badanych zbiorowości po uprzednim uzupełnieniu brakujących parametrów. Li Zadanie 16. Koszt produkcji telewizorów w zakładzie I wynosi 570 zł przy rocznej produkcji 15 tys. sztuk. W zakładzie II koszt wynosi 650 zł przy rocznej produkcji 10 tys. sztuk. Ile wynosi łączny koszt produkcji telewizora dla obu zakładów? Jak zmieni się ten koszt, gdy w obu zakładach wzrośnie on o 8%. Wiedząc dodatkowo, że odchylenie standardowe kosztów dla zakładu I wynosi 30 zł, a dla zakładu II S2(x) = 2025. Zbadać zróżnicowanie za pomocą miar absolutnych i względnych. <L¦ Zadanie 17. Średnia płaca kobiet w przedsiębiorstwie X wynosi 1050 zł, a średnia płaca mężczyzn 1350 zł. Ile wynosi średnia płaca dla całego przedsiębiorstwa, gdy kobiet jest czterokrotnie więcej niż mężczyzn? Jak zmieni się średnia płaca, gdy płace kobiet i mężczyzn wzrosną o 10%. Uzasadnić odpowiedź. Wiedząc dodatkowo, że odchylenie standardowe dla kobiet wynosi 85 zł, a dla mężczyzn S2 (x) = 10 000, oceń zróżnicowanie ogółu płac za pomocą miar absolutnych i względnych. L* Zadanie 18. Współczynnik skośności As obliczony dla stażu osób zatrudnionych w przedsiębiorstwie Z wynosi 0,025. Obliczyć najczęściej występującą wartość stażu pracy, jeśli S(x) wynosi 2 lata, a x = 7 lat. Następnie dokonać analizy tendencji centralnej, rozproszenia i asymetrii. Zadanie 19. Zbadać poziom asymetrii wiedząc, że O^ = 2,5; Q, = 7,5, VQ = 0,5. 30 31 Rozdział I L> Zadanie 20. a) Zapisz zależność pomiędzy x, M(x) i D(x) w przypadku dodatniej skośności rozkładu empirycznego. b) Narysuj schemat krzywej liczebności stażu pracy, gdy x = 11,5, a D(x) = 13,8. Wypowiedz się na temat asymetrii tego rozkładu. <Li Zadanie 21. Na podstawie komunikatów Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie o wysokości akcji BIG i Okocimia na 50 kolejnych sesjach począwszy od sesji 510, uzyskano dane (w zł) przedstawione w poniższej tabeli: Cenyj ' ' i - - . , I , . , -, Zadania do samodzielnego rozwiązywania • akcji i sesji 2-1,3 1 ,4-1 1,5-1 1,6-1, 1,7-1 1,8-1 Ogóle 50 iczpa sesji | iv Jednocześnie wiadomo, że wielkość pierwszego momentu zwykłego w rozkładzie akcji Okocimia wynosiła 55,71 zł, a drugi moment zwykły w tym rozkładzie był równy 3180,48. 1) Dokonać pełnej analizy zróżnicowania cen akcji BIG stosując znane miary dyspersji i spłaszczenia. 2) Porównać zróżnicowanie cen akcji obu przedsiębiorstw. Liczba wyjazdów Odsetek pracowników_____I_____________________________________ Ocenić prawdziwość podanych poniżej stwierdzeń i skorygować sformułowania błędne: 1. Gdyby wszyscy pracownicy wyjeżdżali równie często za granicę, to czyniliby to przeciętnie 2 razy w roku. 2. Taki sam odsetek pracowników wyjeżdżał rzadziej niż jeden raz w roku, jak i częściej niż raz w roku. 3. Przeciętne zróżnicowanie wyjazdów w stosunku do średniej wynosiło 1,20. 4. Typowymi pracownikami byli ci, którzy wyjeżdżali nie więcej niż 2 razy. 5. W badanym roku pracownicy centrali odwiedzili kraje Europy Zachodniej łącznie 105 razy. L> Zadanie 23. W dwóch regionach rolniczych przeprowadzono badanie mające na celu porównanie wielkości gospodarstw indywidualnych. Badanie wykazało, iż w regionie I najliczniej występują gospodarstwa o powierzchni 5,5 ha, połowa gospodarstw 32 miała powierzchnię mniejszą od 6 ha, średnia powierzchnia gospodarstwa wynosiła 6 ha. Współczynnik zmienności liczony w oparciu o odchylenie standardowe wyniósł 0,3. Dla regionu II opracowano następujący szereg liczbowy: Wielkość gospodarstwa w ha 2-A 4-6 6-H 8-10 10-12 Odsetek gospodarstw 10 20 25 35 10 Porównać możliwie wszechstronnie powierzchnię gospodarstw w obydwóch regionach. L¦ Zadanie 24. W wybranym oddziale Banku Śląskiego liczba udzielanych tygodniowo kredytów długoterminowych kształtowała się następująco: Kwota kredytu w tys. zł 0-10 10-20 20-30 30^0 40-50 Liczba kredytobiorców 7 12 19 8 4 Kierownik wydziału w swoim sprawozdaniu stwierdził, że najczęściej udzielanym kredytem jest kredyt w wysokości 25 tys. zł. Czy miał rację? Dodatkowo stwierdzono, że 1/4 kredytów o najwyższej wartości powinno być oprocentowanych według odrębnych zasad (bardziej dogodnych dla klientów). Czy kredytobiorca pobierający kredyt w wysokości 32 tys. może liczyć na dogodną formę oprocentowania? Określić poziom przeciętny wysokości udzielanego kredytu. /L¦ Zadanie 25. Najczęściej na targowisku osiedlowym sprzedawano w pierwszej dekadzie czerwca truskawki w cenie od 4,5 zł do 5 zł (około 30%). Dokładnie cena dominująca była równa 4,8 zł. Truskawek w cenie od 4,0 do 4,5 było 20%. Ile było truskawek w cenie 5,0 do 5,5 zł? L> Zadanie 26. Wyznaczyć poziom asymetrii mając dane: D = 5, Me = 6 oraz Vz = 0,4. Li Zadanie 27. Średnia płaca kobiet w przedsiębiorstwie X wynosi 850 zł, a średnia płaca mężczyzn 1050 zł. Ile wynosi średnia płaca dla całego przedsiębiorstwa, gdy kobiet jest trzykrotnie więcej niż mężczyzn? Jak zmieni się średnia płaca, gdy płace kobiet i mężczyzn wzrosną o 10%? Uzasadnić odpowiedź. Wiedząc dodatkowo, że odchylenie standardowe dla kobiet wynosi 100 zł, a dla mężczyzn S2(x) = 40 000. Oceń zróżnicowanie ogółu płaca za pomocą miar absolutnych i względnych. L¦ Zadanie 28. Dokonano pomiaru głębokości jednego z mazurskich jezior wybierając 100 33 Zadania do samodzielnego rozwiązywania *a) Z^ztaSność pomiędzy *, M(x) i D(x) w przypadku dodatniej skośności rozkładu empirycznego. <- D(x\ = 138 b) Narysuj schemat krzywej liczebności stażu pracy, gdy x - 11,5, a D(x) Wypowiedz się na temat asymetrii tego rozkładu. uzyskano dane (w zł) przedstawione^vpomzszej_tabelL .-U I 1,3-1 10 1,4-1 13 1,5-1 1,6-1, 1,7-1, 1,8-1, Ogóle 50 akcji Liczba sesji | i» | .^ , .. 1____________________________ Jednocześnie wiadomo, że wielkość pierwszego momentu zwykłego w rozkładzie akcji Okocimia wynosiła 55,71 zł, a drugi moment zwykły w tym rozkładzie był równy 3180,48. 1) Dokonać pełnej analizy zróżnicowania cen akcji BIG stosując znane miary dyspersji i spłaszczenia. 2) Porównać zróżnicowanie cen akcji obu przedsiębiorstw. Ocenić prawdziwość podanych poniżej stwierdzeń i skorygować sformułowania błędne: 1. Gdyby wszyscy pracownicy wyjeżdżali równie często za granicę, to czyniliby to przeciętnie 2 razy w roku. 2. Taki sam odsetek pracowników wyjeżdżał rzadziej niż jeden raz w roku, jak i częściej niż raz w roku. 3. Przeciętne zróżnicowanie wyjazdów w stosunku do średniej wynosiło 1,20. 4. Typowymi pracownikami byli ci, którzy wyjeżdżali nie więcej niż 2 razy. 5. W badanym roku pracownicy centrali odwiedzili kraje Europy Zachodniej łącznie 105 razy. L> Zadanie 23. W dwóch regionach rolniczych przeprowadzono badanie mające na celu porównanie wielkości gospodarstw indywidualnych. Badanie wykazało, iż w regionie I najliczniej występują gospodarstwa o powierzchni 5,5 ha, połowa gospodarstw 32 miała powierzchnię mniejszą od 6 ha, średnia powierzchnia gospodarstwa wynosiła 6 ha. Współczynnik zmienności liczony w oparciu o odchylenie standardowe wyniósł 0,3. Dla regionu II opracowano następujący szereg liczbowy: Wielkość gospodarstwa w ha 2-4 4-6 6-8 8-10 10-12 Odsetek gospodarstw 10 20 25 35 10 Porównać możliwie wszechstronnie powierzchnię gospodarstw w obydwóch regionach. L• Zadanie 24. W wybranym oddziale Banku Śląskiego liczba udzielanych tygodniowo kredytów długoterminowych kształtowała się następująco: Kwota kredytu w tys. zl 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 Liczba kredytobiorców 7 12 19 8 4 Kierownik wydziału w swoim sprawozdaniu stwierdził, że najczęściej udzielanym kredytem jest kredyt w wysokości 25 tys. zł. Czy miał rację? Dodatkowo stwierdzono, że 1/4 kredytów o najwyższej wartości powinno być oprocentowanych według odrębnych zasad (bardziej dogodnych dla klientów). Czy kredytobiorca pobierający kredyt w wysokości 32 tys. może liczyć na dogodną formę oprocentowania? Określić poziom przeciętny wysokości udzielanego kredytu. <ti Zadanie 25. Najczęściej na targowisku osiedlowym sprzedawano w pierwszej dekadzie czerwca truskawki w cenie od 4,5 zł do 5 zł (około 30%). Dokładnie cena dominująca była równa 4,8 zł. Truskawek w cenie od 4,0 do 4,5 było 20%. Ile było truskawek w cenie 5,0 do 5,5 zł? L> Zadanie 26. Wyznaczyć poziom asymetrii mając dane: D = 5, Me = 6 oraz V_ = 0,4. L¦ Zadanie 27. Średnia płaca kobiet w przedsiębiorstwie X wynosi 850 zł, a średnia płaca mężczyzn 1050 zł. Ile wynosi średnia płaca dla całego przedsiębiorstwa, gdy kobiet jest trzykrotnie więcej niż mężczyzn? Jak zmieni się średnia płaca, gdy płace kobiet i mężczyzn wzrosną o 10%? Uzasadnić odpowiedź. Wiedząc dodatkowo, że odchylenie standardowe dla kobiet wynosi 100 zł, a dla mężczyzn S2 (x) = 40 000. Oceń zróżnicowanie ogółu płaca za pomocą miar absolutnych i względnych. L» Zadanie 28. Dokonano pomiaru głębokości jednego z mazurskich jezior wybierając 100 33 Zadania do samodzielnego rozwiązywania punktów pomiarowych w odległości 70 m od brzegu. Uzyskano następujące dane: Głębokość dna w metrach 20-21 21-22 22-23 23-24 | 24-25 | Liczba punktów pomiarowych 14 24 38 16 Czy prawdą jest, że najczęściej głębokość ta wynosiła 23 metry? Postanowiono, że 1/4 punktów o największej głębokości ustawione zostaną dodatkowe znaki ostrzegawcze. Czy można będzie ustawić taki w miejscu głębokim na 22,75 metra? Oceń średnią głębokość jeziora w odległości 70 metrów od linii brzegu. L> Zadanie 29. Mając dane następujące miary statystyczne wyznacz pozostałe i podaj ich