Daniel J�zef Bem NAWIGACJA SATELITARNA Wroc�aw 2001 Sorc� Spis tre�ci 1. WPROWADZENIE 3 2. PODSTAWOWE POJ�CIA STOSOWANE W NAWIGACJI 4 3. CHARAKTERYSTYKA SATELITARNYCH SYSTEM�W NAWIGACYJNYCH 6 4. UK�ADY WSPӣRZ�DNYCH 7 4.1. GEOCENTRYCZNY INERCYJNY UK�AD WSPӣRZ�DNYCH 7 4.2. GEOCENTRYCZNY OBRACAJ�CY SI� WRAZ Z ZIEMI� UK�AD WSPӣRZ�DNYCH 8 4.3. �WIATOWY SYSTEM GEODEZYJNY (WGS-84) 8 5. ORBITY SZTUCZNYCH SATELIT�W ZIEMI 11 6. SYSTEM NAWIGACJI SATELITARNEJ NAVSTAR GPS 18 6.1. KR�TKA CHARAKTERYSTYKA 18 6.2. KONSTELACJA GPS 20 6.3. INFORMACJA NAWIGACYJNA 22 6.4. OKRE�LENIE POZYCJI U�YTKOWNIKA 24 6.5. B��D OKRE�LENIA POZYCJI U�YTKOWNIKA 28 6.6. EFEKTY RELATYWISTYCZNE 30 6.7. RӯNICOWE SYSTEMY GPS 31 BIBLIOGRAFIA 32 1. Wprowadzenie Nawigacja zajmuje si� procesem kierowania ruchami pojazd�w (l�dowych, morskich, powietrznych, kosmicznych) z jednego punktu do drugiego. W pierwszych podr�ach cz�owiek u�ywa� swoich zmys��w do okre�lania kierunku, odleg�o�ci, pr�dko�ci i pozycji obiektu, w kt�rym podr�owa�. Nie by�o to zbyt trudne na l�dzie bogatym w r�norodne punkty orientacyjne. Kiedy jednak cz�owiek sta� si� na tyle �mia�y, aby wyp�yn�� na morze, w�wczas musia� si�gn�� do pomocy przyrz�d�w u�atwiaj�cych obserwacj� zjawisk przyrody (wiatru, fal wody, cia� niebieskich). Przez wiele wiek�w jednak nawigacja by�a raczej sztuk� ni� nauk�. Pod koniec dwudziestego stulecia nawigacja rozwin�a si� w wiedz�, umo�liwiaj�c� cz�owiekowi podr�owanie zar�wno na Ziemi, jak i w przestrzeni kosmicznej, wykorzystuj�c w wysokim stopniu najnowsze osi�gni�cia matematyki, elektroniki, mechaniki, ekonomii i filozofii. Przekszta�cenie nawigacji ze sztuki w wiedz� odby�o si� stosunkowo niedawno i jest �ci�le zwi�zane z rozwojem teorii system�w, matematyki, informatyki i technologii elektronowej. Podstawowym zadaniem nawigacji jest doprowadzenie poruszaj�cego si� pojazdu (l�dowego, morskiego, powietrznego, kosmicznego) do okre�lonego punktu z za�o�on� dok�adno�ci� i we w�a�ciwym czasie. W celu dok�adnego wykonania tego zadania stosuje si� r�ne urz�dzenia i systemy nawigacyjne, w�r�d kt�rych mo�na wyr�ni�: - mechaniczne i elektromechaniczne (logi, �yrokompasy, inercyjne systemy nawigacyjne), - magnetyczne (kompasy magnetyczne, magnetometry), - optyczne i kwantowo-optyczne (sekstanty, pelengatory podczerwieni, dalmierze, lokatory optyczne), - akustyczne i hydroakustyczne (pelengatory akustyczne, echosondy, hydrolokatory), - radiolokacyjne (dalmierze), - radiowe. Wszystkie wymienione �rodki nawigacyjne mog� by� stosowane w rozmaitych warunkach, a w celu zwi�kszenia dok�adno�ci okre�lenia pozycji statku informacje z nich otrzymane musz� by� wzajemnie uzupe�niane. Zastosowanie ka�dego z tych �rodk�w oddzielnie nie zawsze jest mo�liwe, ze wzgl�du na z�e warunki meteorologiczne, ograniczon� widoczno�� ziemskich i niebieskich punkt�w orientacyjnych, dzia�anie anomalii magnetycznych na wskazania kompasu, zak��cenia wyst�puj�ce na S�o�cu oraz burze magnetyczne powoduj�ce pogorszenie si� warunk�w rozchodzenia si� fal radiowych itd. Z tego wzgl�du w celu wykonania zada� nawigacyjnych na pojazdach instaluje si� r�ne przyrz�dy i urz�dzenia nawigacyjne, kt�re umo�liwiaj� okre�lenie pozycji pojazdu w zale�no�ci od r�nych warunk�w, w jakich pojazd si� znajduje. Szczeg�lnie jest to istotne w warunkach d�ugotrwa�ego poruszania si� pojazdu w rejonach nie zbadanych i pozbawionych znak�w orientacyjnych (np. okr�ty podwodne p�ywaj�ce w zanurzeniu). Szczeg�lnie atrakcyjne s� systemy radionawigacyjne. Ju� pierwsi u�ytkownicy radia stwierdzili, �e mo�e ono zapewni� zar�wno ��czno��, jak i informacj� nawigacyjn�. Pocz�tkowo zastosowanie radia w nawigacji by�o ograniczone do wykonywania namiar�w na istniej�ce radiostacje komunikacyjne, a p�niej tak�e radiofoniczne. Z biegiem czasu rozwin�y si� wyspecjalizowane systemy radionawigacyjne. Urz�dzenia i systemy radionawigacyjne umo�liwiaj� otrzymanie okre�lonych informacji o parametrach nawigacyjnych i mog� by� stosowane samodzielnie lub te� kompleksowo. W zale�no�ci od rodzaju wyposa�enia mog� one by� autonomiczne lub zale�ne. Aparatura autonomicznych �rodk�w nawigacyjnych jest zainstalowana na pok�adzie pojazdu, a okre�lenie parametr�w nawigacyjnych odbywa si� bez otrzymywania informacji powsta�ych z wykorzystaniem innych urz�dze� radionawigacyjnych. Zale�ne �rodki tworz� systemy radionawigacyjne sk�adaj�ce si� z pok�adowego (ruchomego) i naziemnego (zasadniczo stacjonarnego) wyposa�enia. Urz�dzenia i systemy radionawigacyjne, w zale�no�ci od zestawu wykonywanych zada� i ich wykorzystania, mo�na scharakteryzowa� przez: - zasi�g dzia�ania, czyli najwi�ksz� odleg�o�� pomi�dzy pojazdem i punktem radionawigacyjnym, w kt�rej uzyskuje si� jeszcze wymagan� dok�adno�� (wed�ug zasi�gu dzia�ania systemy radionawigacyjne dzieli si� na systemy bliskiego (do 800 km), �redniego (do 3000 km) i dalekiego (powy�ej 3000 km) zasi�gu); - dok�adno�� pomiaru parametr�w nawigacyjnych, kt�re okre�la przeznaczenie urz�dze� i system�w radionawigacyjnych; - szybko�� uzyskiwania danych (co jest szczeg�lnie wa�ne w lotnictwie i technice rakietowej); - przepustowo��, czyli zdolno�� systemu do jednoczesnego obs�ugiwania okre�lonej liczby obiekt�w; - odporno�� na zak��cenia; - niezawodno��; - ekonomiczno��; - rozmiary i masa, kt�re maj� szczeg�lne znaczenie przy umieszczaniu urz�dze� na samolotach i rakietach; - zdolno�� do pracy w okre�lonych warunkach �rodowiskowych. 2. Podstawowe poj�cia stosowane w nawigacji Podczas prowadzenia pojazdu i okre�lania jego pozycji stosuje si� nast�puj�ce podstawowe poj�cia: - pr�dko�� pojazdu, kt�ra charakteryzuje si� przesuni�ciem jego �rodka ci�ko�ci w jednostce czasu, - tor ruchu pojazdu, kt�rym jest linia, jak� zakre�la w przestrzeni �rodek ci�ko�ci pojazdu, - trasa, czyli rzut toru na powierzchni� Ziemi, - kurs, kt�rym jest k�t mierzony w p�aszczy�nie poziomej mi�dzy kierunkiem p�nocnym po�udnika przechodz�cego przez �rodek ci�ko�ci pojazdu i jego pod�u�n� osi�, - namiar, kt�ry jest k�tem mierzonym w p�aszczy�nie poziomej mi�dzy p�nocnym kierunkiem po�udnika przechodz�cego przez �rodek ci�ko�ci pojazdu i kierunkiem na dany punkt orientacyjny, - pozycja w dowolnym czasie, kt�ra okre�la rzut �rodka ci�ko�ci pojazdu na powierzchni� Ziemi, - pozycja obserwowana, czyli otrzymana na podstawie obserwacji przedmiot�w sta�ych, kt�rych po�o�enie jest �ci�le okre�lone na mapie lub na podstawie obserwacji cia� niebieskich, - pozycja zliczona, kt�r� jest miejsce pojazdu liczone od ostatniej pozycji obserwowanej, a otrzymane na podstawie znajomo�ci kursu rzeczywistego i przebytej odleg�o�ci stwierdzonej wed�ug przyrz�d�w, z uwzgl�dnieniem oddzia�ywania si� zewn�trznych (pr�d�w morskich, wiatr�w). Zasadniczo pozycj� pojazdu okre�la si� w stosunku do powierzchni Ziemi wed�ug przyj�tego uk�adu wsp�rz�dnych. Podczas lotu w przestrzeni kosmicznej wsp�rz�dne pojazdu kosmicznego okre�la si� w stosunku do planet i gwiazd, kt�rych po�o�enie w przestrzeni jest znane. W celu okre�lenia pozycji pojazdu za pomoc� �rodk�w technicznych, wyznacza si� okre�lone parametry nawigacyjne, jak np. odleg�o�� od oznaczonych punkt�w na Ziemi lub k�ty, pod jakimi te punkty s� widoczne ze pojazdu; parametry te nie s� wsp�rz�dnymi geograficznymi. Mierzone parametry nawigacyjne i wsp�rz�dne geograficzne s� ze sob� zwi�zane okre�lonymi r�wnaniami, kt�rych graficzne rozwi�zania stanowi� tzw. linie pozycyjne. Lini� pozycyjn� nazywa si� miejsce geometryczne punkt�w na powierzchni Ziemi, odpowiadaj�cej sta�ej warto�ci mierzonej wielko�ci, a wi�c k�ta, odleg�o�ci, r�nicy lub sumy odleg�o�ci. Na przyk�ad lini� pozycyjn�, czyli miejscem geometrycznym punkt�w na powierzchni Ziemi, z kt�rych pomierzona zosta�a w okre�lonym momencie wysoko�� obserwowanej gwiazdy jest okr�g, kt�rego �rodkiem jest rzut gwiazdy (punkt podgwiezdny), a promieniem sferycznym odmierzona odleg�o�� zenitalna, czyli dope�nienie wysoko�ci. Jedna obserwacja daje tylko jedn� lini� pozycyjn�, dwie r�ne obserwacje dokonane w jednym momencie daj� dwie linie pozycyjne, w kt�rych przeci�ciu znajduje si� miejsce obserwacji. Ka�dy system nawigacyjny charakteryzuje si� �ci�le okre�lon� lini� pozycyjn�. Rozpatrzmy g��wne linie pozycyjne spotykane w systemach nawigacyjnych. Ortodroma jest lini� najkr�tszej odleg�o�ci mi�dzy dwoma punktami na powierzchni kuli. Jak wynika z podstawowych poj�� geometrii, najkr�tsz� odleg�o�ci� na powierzchni kuli pomi�dzy dwoma punktami jest �uk ko�a wielkiego. Rys 2.1. Ortodroma Jak wida� na rysunku 2.1, �uk ko�a wielkiego przechodz�cego przez dwa dane punkty jest nie tylko najkr�tszym, ale r�wnie� jedynym. Wynika st�d wniosek, �e przez dwa punkty na powierzchni Ziemi nie le��ce na przeciwleg�ych ko�cach �rednicy kuli ziemskiej mo�na przeprowadzi� tylko jedn� ortodrom�. Ortodroma jest wi�c lini� pozycyjn� wszystkich punkt�w, kt�rych suma odleg�o�ci od dw�ch punkt�w danych znajduj�cych si� na niej jest sta�a i najmniejsza. Linia r�wnych namiar�w (lub linia r�wnych azymut�w) jest to linia pozycyjna na sferze, maj�ca t� w�a�ciwo��, �e z ka�dego punktu tej linii namiar (azymut) na pewien punkt sta�y jest zawsze taki sam (rys. 2.2). Rys. 2.2. Linie r�wnych namiar�w Linia r�wnych odleg�o�ci jest to linia pozycyjna, kt�rej wszystkie punkty znajduj� si� w jednakowej odleg�o�ci od danego punktu T (rys. 2.3). Linia ta jest zwi�zana z systemami radionawigacyjnymi opartymi na pomiarach odleg�o�ci. Rys. 2.3. Linie r�wnych odleg�o�ci Linia r�wnych sum odleg�o�ci jest to linia pozycyjna, kt�rej wszystkie punkty s� w takich odleg�o�ciach od dw�ch danych punkt�w T1 i T2 (rys. 2.4), �e sumy tych odleg�o�ci s� wielko�ci� sta�a. Wykres tej linii na p�aszczy�nie przedstawia elips�, na powierzchni kuli za� elips� sferyczn�. Rys. 2.4. Linie r�wnych sum odleg�o�ci Linia r�wnych r�nic odleg�o�ci jest to linia pozycyjna, b�d�ca miejscem geometrycznych punkt�w, kt�rych r�nica odleg�o�ci od dw�ch punkt�w o znanych pozycjach jest sta�a. Dla obserwatora znajduj�cego si� w dowolnym punkcie R linii pozycyjnej (rys. 2.5) r�nica odleg�o�ci (d1 - d2) od tego punktu do dw�ch punkt�w T1 i T2 (kt�rych po�o�enie jest okre�lone) jest sta�a i r�wna 2a. W przypadku rozpatrywania zagadnienia na p�aszczy�nie omawiana linia pozycyjna jest hiperbol�, a na powierzchni kuli - hiperbol� sferyczn�. Rys. 2.5. Linie r�wnych r�nic odleg�o�ci Systemy radionawigacyjne umo�liwiaj�ce wyznaczanie r�nic odleg�o�ci od dw�ch radiostacji znajduj�cych si� w okre�lonych punktach nosz� nazw� system�w hiperbolicznych. Wprowad�my jeszcze poj�cie loksodromy, kt�r� nazywamy drog� pojazdu, przecinaj�c� po�udniki rzeczywiste pod jednakowymi k�tami (rys. 2.6). Na ma�ych odleg�o�ciach r�nica drogi wed�ug ortodromy i loksodromy jest niedu�a i zwykle nie bierze si� jej pod uwag� przy obliczaniu drogi wed�ug loksodromy. Rys. 2.6. Ortodroma i loksodroma Nawigacja tr�jwymiarowa opiera si� na powierzchniach pozycyjnych. Powierzchni� pozycyjn� jest powierzchnia, z kt�rej ka�dego punktu parametr nawigacyjny mierzony w stosunku do okre�lonego obiektu kosmicznego (naturalnego lub sztucznego) ma warto�� sta��. W nawigacji l�dowej pozycj� pojazdu mo�na okre�li� na podstawie dw�ch linii pozycyjnych; do okre�lenia pozycji pojazdu w uk�adzie tr�jwymiarowym nale�y zna� nie mniej ni� trzy powierzchnie pozycyjne. Przeci�cie si� dw�ch powierzchni pozycyjnych daje lini� pozycyjn�, kt�ra, przecinaj�c si� z trzeci� powierzchni� pozycyjn�, wyznacza dwa punkty okre�laj�ce przypuszczaln� pozycj� statku. Przybli�ona pozycja pojazdu jest znana, wi�c wyst�puj�c� niejednoznaczno�� okre�lenia pozycji �atwo wyja�ni�. 3. Charakterystyka satelitarnych system�w nawigacyjnych Satelitarne systemy radionawigacyjne charakteryzuj� si� nast�puj�cymi zaletami w por�wnaniu z klasycznymi systemami radionawigacyjnymi: - globalno�ci� system�w (systemy klasyczne, z wyj�tkiem systemu Omega nie maj� tej cechy), - du�� i prawie jednakow� dok�adno�ci� okre�lania pozycji na ca�ym obszarze stosowalno�ci, - niezawodno�ci� od warunk�w meteorologicznych, - niezawodno�ci� od pory roku i doby, - mo�liwo�ci� przekazywania dodatkowych informacji, nie zwi�zanych z nawigacj�. Satelitarny system nawigacyjny tworz� nast�puj�ce elementy: - okre�lona liczba satelit�w nawigacyjnych poruszaj�cych si� dooko�a Ziemi po wyznaczonych orbitach; - sie� stacji obserwacyjnych odbieraj�cych sygna�y nadawane przez urz�dzenia zainstalowane na satelitach; stacje te maj� ��czno�� z centrum sterowania systemem, w kt�rym oblicza si� efemerydy satelit�w; - �rodki ��czno�ci, s�u��ce do przekazywania obliczonych efemeryd satelit�w poszczeg�lnym u�ytkownikom; - autonomiczne urz�dzenia nawigacyjne, wyznaczaj�ce pozycj� obiektu. W zale�no�ci od rodzaju aparatury radionawigacyjnej systemy satelitarne mog� opiera� si� na pomiarze odleg�o�ci, k�ta lub na zjawisku Dopplera. Zawsze jednak podstawowym elementem systemu jest znany i okre�lony wzgl�dem Ziemi tor lotu satelity, na kt�rego podstawie wyznacza si� linie pozycyjne. Systemy dopplerowskie opieraj� si� na pomiarze szybko�ci zmiany odleg�o�ci od obiektu do satelity, kt�r� okre�la cz�stotliwo�� Dopplera. Przeci�cie si� powierzchni sto�kowej odpowiadaj�cej sta�ej warto�ci cz�stotliwo�ci Dopplera z powierzchni� kuli ziemskiej wyznacza lini� pozycyjn�, zwan� izodopp� (rys. 3.1). Do okre�lenia pozycji obiektu w uk�adzie tr�jwymiarowym trzeba wyznaczy� trzy linie pozycyjne, tzn. zmierzy� warto�ci pr�dko�ci satelity wzgl�dem punktu obserwacji w trzech kolejnych chwilach. Zasada okre�lania pozycji obiektu na podstawie pomiaru cz�stotliwo�ci Dopplera jest analogiczna do zasady klasycznych hiperbolicznych system�w nawigacyjnych, w kt�rych baza jest r�wna odleg�o�ci przebywanej przez satelit� w wybranym przedziale czasu. Rys. 3.1. Tworzenie linii pozycyjnej - izodoppy - w satelitarnym dopplerowskim systemie nawigacyjnym Dopplerowskim satelitarnym systemem nawigacyjnym by� system Transit opracowany na pocz�tku lat sze��dziesi�tych na potrzeby ameryka�skiej flotylli �odzi podwodnych Polaris. W roku 1968 system ten, po udoskonaleniu, zosta� oddany do u�ytku cywilnego pod nazw� NNSS (ang. Naval Navigation Satellite System). Szybko sta� si� on popularnym i niezawodnym �rodkiem okre�lania pozycji statk�w morskich w skali ca�ego globu. �redni b��d okre�lenia pozycji wynosi 0,5 mili morskiej w skali globalnej. Systemy odleg�o�ciowe. Powierzchnia pozycyjna ma posta� sfery ze �rodkiem w punkcie, w kt�rym znajduje si� satelita w momencie dokonywania pomiaru odleg�o�ci i promieniu r�wnym odleg�o�ci mi�dzy obiektem i satelit�. Do okre�lenia pozycji obiektu w uk�adzie tr�jwymiarowym nale�y wyznaczy� co najmniej trzy powierzchnie pozycyjne (rys. 3.2). Mo�na tego dokona� b�d� mierz�c w tym samym czasie odleg�o�ci od trzech r�nych satelit�w, b�d� mierz�c trzy odleg�o�ci do tego samego satelity w r�nych momentach. Rys. 3.2. Powierzchnia pozycyjna w postaci sfery (a); przeci�cie si� dw�ch powierzchni pozycyjnych (dw�ch sfer) wyznacza lini� pozycyjn� w postaci okr�gu (b); przeci�cie si� tej linii pozycyjnej z trzeci� powierzchni� pozycyjn� wyznacza dwa mo�liwe po�o�enia pojazdu (c); zwykle nie ma k�opotu ze stwierdzeniem, kt�re z tych po�o�e� jest w�a�ciwe Pomiar odleg�o�ci do jednego satelity wyznacza powierzchni� pozycyjn� w postaci sfery. Pomiar odleg�o�ci do drugiego satelity wyznacza drug� powierzchni� pozycyjn�, r�wnie� w postaci sfery. Przeci�cie tych powierzchni pozycyjnych wyznacza lini� pozycyjn� w postaci okr�gu. Przeci�cie si� tej linii pozycyjnej z trzeci� powierzchni� pozycyjn�, uzyskan� w wyniku pomiaru odleg�o�ci do trzeciego satelity, wyznacza dwa mo�liwe po�o�enia pojazdu. Zwykle nie ma k�opotu ze stwierdzeniem, kt�re z tych po�o�e� jest w�a�ciwe. 4. Uk�ady wsp�rz�dnych W celu sformu�owania r�wna� umo�liwiaj�cych okre�lenie pozycji i pr�dko�ci pojazdu na podstawie pomiaru odleg�o�ci do satelit�w nale�y wybra� odpowiednie uk�ady wsp�rz�dnych. Zwykle wektory po�o�enia i pr�dko�ci satelity i wektory po�o�enia i pr�dko�ci odbiornika nawigacyjnego okre�la si� w kartezja�skich uk�adach wsp�rz�dnych. 4.1. Geocentryczny inercyjny uk�ad wsp�rz�dnych Geocentryczny inercyjny uk�ad wsp�rz�dnych (ang. ECI - Earth-Centered Inertial Coordinate System) jest to kartezja�ski uk�ad wsp�rz�dnych, kt�rego p�aszczyzna x-y pokrywa si� z p�aszczyzn� r�wnikow� Ziemi, o� x jest stale skierowana ku ustalonemu punktowi na sferze niebieskiej (zwykle jest to punkt r�wnonocy wiosennej), o� z pokrywa si� z osi� Ziemi i jest skierowana ku biegunowi p�nocnemu, o� y dobiera si� tak, aby utworzy� prawoskr�tny uk�ad wsp�rz�dnych (rys. 4.1). Rys. 4.1. Geocentryczny inercyjny uk�ad wsp�rz�dnych (ECI) Uk�ad ECI jest inercyjny w tym sensie, �e r�wnania ruchu sztucznych satelit�w Ziemi zapisane w tym uk�adzie spe�niaj� niutonowskie prawa ruchu i grawitacji. Pewien k�opot z podan� definicj� uk�adu ECI wynika z nieregularno�ci ruchu Ziemi. Wskutek niesferycznego kszta�tu Ziemi i niejednorodnego rozk�adu masy, grawitacyjne oddzia�ywanie S�o�ca i Ksi�yca powoduje przemieszczanie si� ziemskiej p�aszczyzny r�wnikowej wzgl�dem sfery niebieskiej. Poniewa� o� x jest okre�lona wzgl�dem ustalonego punktu na sferze niebieskiej, a o� z - wzgl�dem ziemskiej p�aszczyzny r�wnikowej, to podana wcze�niej definicja uk�adu ECI nie zapewnia w rzeczywisto�ci jego inercyjno�ci. Rozwi�zaniem tego k�opotu jest zdefiniowanie po�o�enia osi uk�adu wsp�rz�dnych w ustalonym momencie czasu, zwanym epok�. Na potrzeby systemu GPS przyj�to po�o�enie osi uk�adu ECI 1 stycznia 2000 roku o godzinie 12.00 czasu UTC (ang. Coordinated Universal Time). O� x jest skierowana od �rodka Ziemi ku punktowi r�wnonocy wiosennej, pozosta�e osie - zgodnie z wcze�niejszym opisem. W ten spos�b po�o�enie osi zosta�o dla danej epoki jednoznacznie ustalone, a wi�c uk�ad ECI sta� si� rzeczywi�cie uk�adem inercyjnym. 4.2. Geocentryczny obracaj�cy si� wraz z Ziemi� uk�ad wsp�rz�dnych Do okre�lenia po�o�enia odbiornika nawigacyjnego (GPS) wygodniej jest stosowa� uk�ad wsp�rz�dnych, kt�ry obraca si� wraz z Ziemi� (ang. ECEF - Earth-Centered Earth-Fixed Coordinate System). W takim uk�adzie wsp�rz�dnych �atwiej jest wyznaczy� wsp�rz�dne geograficzne i wysoko�� pojazdu. Podobnie jak w uk�adzie ECI, w uk�adzie ECEF p�aszczyzna x-y pokrywa si� z r�wnikow� p�aszczyzn� Ziemi, o� x jest jednak skierowana na po�udnik Greenwich , a o� y - na po�udnik . Osie x i y obracaj� si� wi�c zgodnie z obrotem Ziemi i nie opisuj� ustalonych kierunk�w w inercjalnej przestrzeni. O� z jest prostopad�a do p�aszczyzny r�wnikowej i skierowana ku biegunowi p�nocnemu. W celu okre�lenia pozycji odbiornika GPS nale�y najpierw dokona� przetworzenia efemeryd satelit�w z uk�adu wsp�rz�dnych ECI do uk�adu wsp�rz�dnych ECEF. W dalszym ci�gu nie b�dziemy si� zajmowali problemem przetworzeniem efemeryd satelit�w z uk�adu ECI do uk�adu ECEF. Zak�adamy wi�c, �e znane s� wsp�rz�dne satelit�w GPS w uk�adzie ECEF. 4.3. �wiatowy system geodezyjny (WGS-84) Standardowym modelem fizycznym Ziemi stosowanym w systemie GPS jest model opisany w �wiatowym systemie geodezyjnym WGS-84 (ang. World Geodetic System - 84). W modelu tym rzeczywisty kszta�t Ziemi aproksymuje si� elipsoid� obrotow�. Przekroje modelu p�aszczyznami r�wnoleg�ymi do p�aszczyzny r�wnikowej s� ko�ami. Promie� przekroju r�wnikowego wynosi 6378,137 km. Jest to �redni r�wnikowy promie� Ziemi. Przekroje modelu p�aszczyznami normalnymi do p�aszczyzny r�wnikowej s� elipsami (rys. 4.2). Wielka o� przekroju zawieraj�cego o� z pokrywa si� z r�wnikow� �rednic� ziemi; wielka p�o� a ma wi�c tak� sam� d�ugo�� jak �redni promie� r�wnikowy. Ma�a p�o� przekroju pokazanego na rysunku 9 pokrywa si� z biegunow� �rednic� Ziemi. Ma�a p�o� b ma w modelu WGS-84 d�ugo�� 6356,7523142 km. Rys. 4.2. Elipsoidalny model Ziemi (przekr�j p�aszczyzna normaln� do p�aszczyzny r�wnikowej) Parametry modelu WGS-84: - mimo�r�d (4.1) - sp�aszczenie (4.2) Czasem u�ywa si� dodatkowego parametru, zwanego drugim mimo�rodem (4.3) W celu okre�lenia wsp�rz�dnych geodezyjnych: szeroko�ci () i d�ugo�ci () oraz wysoko�ci (h) u�ytkownika (odbiornika nawigacyjnego GPS). wprowad�my nast�puj�ce oznaczenia (rys. X.12). Po�o�enie u�ytkownika (punkt S) okre�la wektor przy czym s� wsp�rz�dnymi u�ytkownika (odbiornika nawigacyjnego) w uk�adzie wsp�rz�dnych ECEF; O jest �rodkiem Ziemi. Punktem na powierzchni elipsoidy najbli�szym wzgl�dem po�o�enia u�ytkownika jest punkt N. Prosta wyznaczona przez wektor n normalny do powierzchni elipsoidy wystawiony w punkcie N przecina p�aszczyzn� r�wnikow� w punkcie P. Punkt A jest punktem na r�wniku najbli�szym do punktu P. D�ugo�� geodezyjna jest to k�t mi�dzy u�ytkownikiem i osi� x, mierzony w p�aszczy�nie x-y (4.4) przy czym k�ty ujemne odpowiadaj� d�ugo�ci zachodniej. Szeroko�� geodezyjn� wyznacza k�t mi�dzy wektorem normalnym do powierzchni elipsoidy i jego rzutem na p�aszczyzn� r�wnikow� (k�t NPA na rysunku 4.2). Konwencjonalnie przyjmuje si�, �e jest dodatnie, je�li (u�ytkownik znajduje si� na p�kuli p�nocnej) i ujemne, je�li Wysoko�� geodezyjna h jest r�wna d�ugo�ci odcinka SN na rysunku 4.2. Obliczona przez odbiornik GPS, stosuj�cy model WGS-84, wysoko�� geodezyjna mo�e znacznie r�ni� si� od wysoko�ci odczytanej z mapy. Wynika to z r�nic mi�dzy elipsoid� WGS-4 i geoid� (lokalny �redni poziom morza). W celu zwi�kszenia dok�adno�ci okre�lenia wysoko�ci odbiornika mo�na stosowa� modele Ziemi obowi�zuj�ce lokalnie, np. European Datum 1950 (ED-50). Wzory umo�liwiaj�ce okre�lenie wsp�rz�dnych geodezyjnych (,,h) u�ytkownika na podstawie jego wsp�rz�dnych w uk�adzie kartezja�skim ECEF zebrano w tabeli 4.1. Tabela 4.1 Obliczenie wsp�rz�dnych geodezyjnych na podstawie wsp�rz�dnych u�ytkownika w uk�adzie ECEF (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) Okre�lenie wektora po�o�enia u�ytkownika na podstawie znajomo�ci jego wsp�rz�dnych geodezyjnych (,,h) opisuje wz�r (4.5) 5. Orbity sztucznych satelit�w Ziemi Ruch sztucznego satelity w polu grawitacyjnym Ziemi mo�na okre�li� na podstawie newtonowskich zasad mechaniki i prawa powszechnego ci��enia. Rozwa�my jednorodn� kulist� Ziemi� o masie m i satelit� o masie ms znajduj�ce si� w odleg�o�ciach odpowiednio r1 i r2 od pocz�tku dowolnie wybranego inercjalnego uk�adu odniesienia (rys. 5.1). Z drugiego Rys. 5.1. Ziemia i satelita w inercjalnym uk�adzie wsp�rz�dnych prawa Newtona (iloczyn masy cia�a przez jego przyspieszenie jest r�wny sile dzia�aj�cej na to cia�o) wynika, �e si�y dzia�aj�ce na Ziemi� i satelit� s� opisane r�wnaniami: , (5.1a) . (5.1bb) Prawo powszechnego ci��enia g�osi, �e si�a przyci�gania mi�dzy dwoma dowolnymi cia�ami jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odleg�o�ci mi�dzy nimi, zatem , (5.2) przy czym g = 6,67 x 10-11 m3 kg-1 s-2 jest sta�� grawitacyjn�. Z r�wna� (X.6) i (X.7) wynika, �e: ; (5.3a) . (5.3b) Po odj�ciu stronami r�wna� (5.3b) i (5.3a) oraz podstawieniu r = r2 - r1 otrzymujemy . (5.4) Masa sztucznego satelity jest niepor�wnywalnie ma�a w stosunku do masy Ziemi, mo�emy wi�c j� zaniedba� w r�wnaniu (5.4). Otrzymamy w�wczas , (5.5) przy czym ? = 3,986013 x 1014 m3 s-2 jest sta�� przyci�gania Ziemi (masa Ziemi m = 5,975 x 1024 kg). R�wnanie (X.10) jest znane jako r�wnanie ruchu dw�ch cia�. Opisuje ono ruch punktu materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Z pewnym przybli�eniem opisuje ono tak�e ruch satelity Ziemi po orbicie. W 1609 r. Kepler sformu�owa�, na podstawie obserwacji ruchu planet, trzy prawa dotycz�ce ich orbit. W odniesieniu do orbit sztucznych satelit�w Ziemi maj� one nast�puj�c� posta�. 1. Prawo Keplera. Orbita sztucznego satelity Ziemi jest elips� (w szczeg�lnym przypadku okr�giem) i le�y w nieruchomej p�aszczy�nie przechodz�cej przez �rodek ci�ko�ci Ziemi, kt�ry znajduje si� w jednym z jej ognisk (w �rodku okr�gu w przypadku orbity ko�owej). 2. Prawo Keplera. Promie� wodz�cy satelity (odcinek ��cz�cy satelit� ze �rodkiem ci�ko�ci Ziemi) zakre�la w jednakowych odst�pach czasu jednakowe pola. 3. Prawo Keplera. Stosunek kwadrat�w okres�w obiegu satelit�w jest r�wny stosunkowi sze�cian�w ich �rednich odleg�o�ci od �rodka ci�ko�ci Ziemi, tzn. sze�cian�w wielkich p�osi ich orbit. Z praw Keplera wynikaj� trzy r�wnania. 1. R�wnanie energii , (5.6) przy czym W jest ca�kowit� energi� satelity, a v - jego pr�dko�ci�. Z r�wnania (5.6) wynika, �e ca�kowita energia satelity nie ulega zmianie w trakcie jego ruchu po orbicie. Oddalaniu si� satelity od �rodka ci�ko�ci Ziemi towarzyszy wi�c zmniejszenie si� jego pr�dko�ci, zbli�aniu natomiast - wzrost pr�dko�ci. 2. R�wnanie p�l (5.7a) lub . (5.7b) R�wnania (5.7) s� matematycznym zapisem tre�ci drugiego prawa Keplera. Z wektorowej postaci tego r�wnania wynika, �e ruch satelity odbywa si� w nieruchomej p�aszczy�nie przechodz�cej przez �rodek ci�ko�ci Ziemi. P�aszczyzn� t� nazywamy p�aszczyzn� orbity. 3. R�wnanie Laplace�a , (5.8) przy czym A jest wektorem Laplace�a. R�wnanie (5.8) okre�la zwi�zek mi�dzy wektorami r, v i C. Z r�wnania p�l (5.7) i r�wnania Laplace�a (5.8) wynika, �e orbita cia�a poruszaj�cego si� w centralnym polu grawitacyjnym jest krzyw� sto�kow�, w kt�rej ognisku znajduje si� centrum przyci�gania. Trajektoria sztucznego satelity Ziemi jest krzyw� zamkni�t�, wi�c jego ruch mo�e odbywa� si� tylko po elipsie lub okr�gu, kt�ry jest szczeg�lnym przypadkiem elipsy. Ruch po innych krzywych sto�kowych jest zwi�zany z ucieczk� satelity z pola przyci�gania Ziemi. W ten spos�b dochodzimy do pierwszego prawa Keplera. Rys. 5.2. Orbita sztucznego satelity Ziemi R�wnanie elipsy w biegunowym uk�adzie wsp�rz�dnych (rys. 5.2) ma posta� , (5.9) przy czym: - parametr ogniskowy (dodatnia warto�� rz�dnej wystawionej z ogniska), - mimo�r�d.Kszta�t orbity zale�y od mimo�rodu e. Je�li e = 0, to elipsa przechodzi w okr�g, m�wimy w�wczas o orbicie ko�owej. Je�li 0 < e < 1, to mamy do czynienia z orbita eliptyczn�. Warto�ci ? = 0 odpowiada najwi�ksze zbli�enie satelity do �rodka ci�ko�ci Ziemi (perigeum), warto�ci ? = ? natomiast odpowiada najwi�ksze oddalenie satelity od �rodka Ziemi (apogeum). K�t ? liczymy od perigeum orbity w kierunku ruchu satelity. W astronomii k�t ? nazywa si� anomali� prawdziw�. Lini� ��cz�c� punkty apogeum i perigeum nazywamy lini� apsyd. Pos�uguj�c si� znanymi zale�no�ciami geometrii analitycznej, mo�emy zapisa� kilka u�ytecznych zale�no�ci wi���cych parametry orbity eliptycznej: - odleg�o�� perigeum od �rodka ci�ko�ci Ziemi (promie� perigeum) , (5.10) - odleg�o�� apogeum od �rodka ci�ko�ci Ziemi (promie� apogeum) , (5.11) - du�a p�o� orbity , (5.12) - ma�a p�o� orbity , (5.13) - mimo�r�d , (5.14) - parametr ogniskowy . (5.15) Kszta�t i rozmiary orbity eliptycznej okre�laj� w pe�ni dowolne dwa z wymienionych parametr�w. Bie��c� warto�� promienia wodz�cego w czasie ruchu satelity po orbicie opisuje r�wnanie (5.10). Podanie jawnej zale�no�ci promienia wodz�cego od czasu nie jest mo�liwe. W zwi�zku z tym wprowadza si� poj�cie anomalii mimo�rodowej E, odpowiadaj�cej ruchowi hipotetycznego satelity po orbicie ko�owej o promieniu r�wnym du�ej p�osi orbity rzeczywistej (rys. 5.2), zwi�zanej z anomali� prawdziw� r�wnaniem . (5.16) Anomalia mimo�rodowa jest zwi�zana z czasem r�wnaniem Keplera , (5.17) przy czym: - anomalia �rednia, (5.18) - moment przej�cia satelity przez perigeum. Okres obiegu satelity po orbicie mo�na wyznaczy� z r�wnania (5.17) po podstawieniu E = 2?, otrzymujemy w�wczas . (5.19) Z r�wnania (5.19) wynika trzecie prawo Keplera . (5.20) Pr�dko�� satelity na orbicie jest opisana wzorem . (5.21) Mo�na j� roz�o�y� na dwie sk�adowe: - styczn� , (5.22a) - radialn� . (5.22b) W apogeum i perigeum znika sk�adowa radialna pr�dko�ci satelity; sk�adowa styczna przyjmuje odpowiednio warto�ci: , (5.23a) . (5.23b) W przypadku orbity ko�owej sk�adowa radialna pr�dko�ci satelity nie wyst�puje w og�le, a sk�adowa styczna jest wyra�ona wzorem , (5.24) przy czym r = p jest promieniem orbity. Elementy orbity. Po�o�enie orbity w przestrzeni, jej rozmiary oraz po�o�enie satelity na orbicie, okre�la sze�� parametr�w, zwanych elementami orbity. W og�lnym przypadku p�aszczyzna orbity przecina si� z p�aszczyzn� r�wnika ziemskiego (rys. 5.3), przy czym �lad przeci�cia nosi nazw� linii w�z��w. Punkt, w kt�rym satelita przechodzi przez p�aszczyzn� r�wnikow� poruszaj�c si� z po�udnia na p�noc, nazywamy w�z�em wst�puj�cym; diametralnie przeciwny punkt - w�z�em zst�puj�cym. Po�o�enie w�z�a wst�puj�cego okre�lone przez k�t ? mierzony od prostej ��cz�cej �rodek ci�ko�ci Ziemi z punktem r�wnonocy wiosennej w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz�wek zegara, patrz�c z bieguna p�nocnego, jest pierwszym elementem orbity. Punkt r�wnonocy wiosennej jest punktem przeci�cia si� ekliptyki z r�wnikiem niebieskim, odpowiadaj�cy przej�ciu S�o�ca przez punkt Barana (oko�o 21 marca). K�t ? nazywamy rektascencj� w�z�a wst�puj�cego; mo�e on przyjmowa� warto�ci z przedzia�u < 0�, 360� > . Drugim elementem orbity jest inklinacja, tzn. k�t i mi�dzy p�aszczyzn� r�wnika ziemskiego i p�aszczyzn� orbity, mierzony od p�aszczyzny r�wnikowej w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz�wek zegara, przez obserwatora patrz�cego od strony w�z�a wst�puj�cego. K�t ten mo�e zawiera� si� w przedziale < 0�, 180�>. W zale�no�ci od warto�ci inklinacji, orbity dzielimy na r�wnikowe (i = 0), biegunowe (i = 90�) i nachylone. Orbity nachylone mog� by� proste (0�< i < 90�), gdy kierunek ruchu satelity jest zgodny z kierunkiem obrotu Ziemi, i przeciwne (90� < i < 180�), gdy kierunek ruchu satelity jest przeciwny wzgl�dem kierunku obrotu Ziemi. Kolejnym elementem orbity jest argument perigeum, tzn. k�t ? mierzony w p�aszczy�nie orbity w kierunku ruchu satelity od w�z�a wst�puj�cego do perigeum. Argument perigeum mo�e zmienia� si� w granicach od 0� do 360�. Satelity z apogeum na p�kuli p�nocnej maj� argument w przedziale 180� ? ? ? 360�. Rektascencja w�z�a wst�puj�cego ?, inklinacja i oraz argument perigeum ? okre�laj� po�o�enie orbity w przestrzeni. Kszta�t i rozmiary orbity okre�laj�: du�a p�o� orbity a i mimo�r�d e. Sz�stym elementem orbity jest czas tp przej�cia satelity przez perigeum, ��cz�cy po�o�enie orbity w przestrzeni z po�o�eniem satelity na orbicie. Rys. 5.3. Elementy orbity sztucznego satelity Ziemi Rektascencja w�z�a wst�puj�cego ?, inklinacja i, argument perigeum ?, du�a p�o� orbity a, mimo�r�d e i czas przej�cia satelity przez perigeum tp s� keplerowskimi elementami orbity. R�wnanie (5.5) nie opisuje dok�adnie ruchu sztucznego satelity Ziemi poniewa� Ziemia nie jest kulista i nie ma r�wnomiernego rozk�adu masy. Niech V przedstawia rzeczywisty potencja� grawitacyjny Ziemi w dowolnym punkcie przestrzeni, r�wnanie (5.5) mo�na w�wczas zapisa� w postaci (5.25) przy czym W zagadnieniu dw�ch cia� V = /r, wi�c R�wnanie (5.25) jest zatem rzeczywi�cie uog�lnieniem r�wnania (5.5), opisuj�cego ruch punktu materialnego w centralnym polu grawitacyjnym. Rzeczywiste pole grawitacyjne Ziemi modeluje si� za pomoc� szeregu harmonicznych sferycznych. Pole w punkcie P o wsp�rz�dnych (r,,) opisuje wyra�enie (5.26) przy czym: r - odleg�o�� punktu P od �rodka Ziemi (pocz�tku uk�adu wsp�rz�dnych); - geocentryczna szeroko�� punktu P (k�t mi�dzy wektorem r i p�aszczyzn� x-y; - wzniesienie proste punktu P; a - �redni r�wnikowy promie� Ziemi (6378,137 km w modelu WGS-84); - stowarzyszona funkcja Legendre'a; - kosinusowy wsp�czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz�du m; - sinusowy wsp�czynnik harmonicznej sferycznej stopnia l, rz�du m. Zauwa�my, �e pierwszy cz�on po prawej stronie r�wnania (5.26) reprezentuje centralne pole grawitacyjne. Zauwa�my r�wnie�, �e szeroko�� geocentryczna w r�wnaniu (5.26) jest r�na od szeroko�ci geodezyjnej okre�lonej w . W systemie WGS-84 okre�lono sferyczne wsp�czynniki harmoniczne a� do osiemnastego stopnia i rz�du. Dodatkowo na satelity nawigacyjne dzia�aj� nast�puj�ce si�y: pole grawitacyjne tzw. trzecich cia�, przede wszystkim S�o�ca i Ksi�yca, ci�nienie promieniowania s�onecznego, p�ywy ziemskie, odgazowanie (powolne uwalnianie si� gaz�w ze struktury satelity), manewry orbitalne. Wp�yw tych wszystkich si� uwzgl�dnia si� przez wprowadzenie do r�wnania (5.25) cz�onu korekcyjnego w postaci wektora , tak wi�c r�wnanie ruchu satelity przyjmuje posta� (5.27) W r�ny spos�b mo�na opisa� orbitalne parametry satelity. Najbardziej oczywistym sposobem jest okre�lenie wektora pozycyjnego i wektora pr�dko�ci w pewnym momencie odniesienia i rozwi�zanie r�wnania ruchu (5.27) w celu okre�lenia wektora pozycyjnego i wektora pr�dko�ci satelity w dowolnym czasie t. Tak postawione zadanie mo�e by� rozwi�zane analitycznie tylko dla zagadnienia dw�ch cia�; uwzgl�dnienia perturbacji wprowadzanych przez inne czynniki - to znaczy rozwi�zanie r�wnania (5.27) - mo�na dokona� tylko numerycznie. W r�wnaniu potencja�owym (5.26) dominuj�cym sk�adnikiem jest centralne pole grawitacyjne. Mo�na wi�c rozwi�zanie r�wnania ruchu satelity w rzeczywistych warunkach (5.27) opisa� za pomoc� sze�ciu klasycznych element�w keplerowskich, z tym �e nie b�d� one niezale�ne od czasu. Takie elementy orbity nazywamy �ci�le stycznymi. 6. System nawigacji satelitarnej NAVSTAR GPS 6.1. Kr�tka charakterystyka Na pocz�tku lat sze��dziesi�tych kilka ameryka�skich organizacji rz�dowych, w tym organizacje wojskowe, Krajowa Administracja Aeronautyki i Kosmonautyki (National Aeronautics and Space Agency - NASA), Departament Transportu (Department of Transportation - DOT) by�y zainteresowane zbudowaniem satelitarnego systemu nawigacyjnego. Nowemu systemowi nawigacyjnemu postawiono nast�puj�ce wymagania: globalny zasi�g, praca ci�g�a w dowolnych warunkach pogodowych, zdolno�� do obs�ugiwania pojazd�w o du�ej dynamice ruchu, du�a dok�adno�� okre�lania pozycji. Dopplerowski system nawigacji satelitarnej Transit, kt�ry wszed� w faz� operacyjn� w roku 1964, by� powszechnie akceptowany do okre�lania pozycji pojazd�w o niezbyt du�ej dynamice ruchu. System ten umo�liwia� okre�lenie pozycji statku znajduj�cego si� na r�wniku �rednio raz na 110 minut, przy czym okre�lenie pozycji trwa�o od 10 do 15 minut. Mo�liwa cz�sto�� okre�lania pozycji statku wzrasta�a ze wzrostem szeroko�ci geograficznej, np. przy szeroko�ci mo�na by�o okre�la� pozycj� statku raz na 30 minut. Mankamenty systemu Transit spowodowa�y, �e Marynarka Ameryka�ska (US Navy) by�a zainteresowana udoskonaleniem systemu Transit lub budow� nowego systemu nawigacji satelitarnej o wymienionych wcze�niej w�a�ciwo�ciach. R�ne odmiany systemu Transit proponowa�o Laboratorium Fizyki Stosowanej Uniwersytetu Johna Hopkinsa (Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory). Laboratorium Badawcze Marynarki (Naval Research Laboratory - NRL) pracowa�o nad programem satelitarnej precyzyjnej s�u�by czasu, zwanym programem Timation. Program ten rozszerzono o mo�liwo�� pomiaru odleg�o�ci do satelit�w, dzi�ki temu system Timation m�g� s�u�y� do dwuwymiarowego okre�lania pozycji statk�w. W tym samym czasie, gdy Marynarka Ameryka�ska pracowa�a nad udoskonaleniem systemu Transit i nad programem Timation, Ameryka�skie Wojka Lotnicze (US Air Force) przedstawi�y koncepcj� satelitarnego systemu nawigacyjnego pod nazw� System 621B. Satelity tego systemu, w liczbie od 15 do 20, mia�y porusza� si� po eliptycznych orbitach o nachyleniu Do pomiaru odleg�o�ci do satelit�w proponowano zastosowa� kluczowanie fazy sygna�u no�nego za pomoc� ci�gu pseudolosowego. System 621b mia� zapewni� tr�jwymiarowe okre�lanie pozycji w skali ca�ego globu w dowolnych warunkach meteorologicznych. Koncepcj� systemu testowano za pomoc� tzw. pseudolit�w, tzn. stacji naziemnych nadaj�cych takie same sygna�y, jakie mia�y nadawa� satelity. Sygna�y te by�y odbierane przez lataj�ce samoloty, kt�re na ich podstawie okre�la�y swoje pozycje. R�wnie� Ameryka�ska Piechota (US Army) prowadzi�a badania nad wyborem przysz�ego systemu nawigacji satelitarnej. Wynikiem tych bada� by�o stwierdzenie, najlepszym rozwi�zaniem jest system odleg�o�ciowy z pomiarem odleg�o�ci na zasadzie rozpraszania widma sygna�u no�nego za pomoc� ci�gu pseudolosowego. W roku 1969 Biuro Sekretarza Obrony (The Office of the Secretary of Defence - OSD) ustanowi�o program budowy obronnego systemu nawigacji satelitarnej (Defence Navigation Satellite System - DNSS), kt�rego zadaniem by�o po�aczenie dotychczasowych bada� prowadzonych przez r�ne organizacje i zbudowanie jednego - s�u��cego wszystkim - systemu nawigacji satelitarnej. Powsta�a w ten spos�b koncepcja systemu NAVSTAR GPS (NAVSTAR Global Positioning System),kt�ry powinien zaspokoi� potrzeby wszystkich u�ytkownik�w. Prace projektowe trwa�y do 1979 r. Pierwszego satelit� umieszczono na orbicie w lutym 1978 r. System jest obecnie w fazie operacyjnej i spe�nia wymagania postawione mu na pocz�tku lat 60. Zapewnia on ci�g�e, tr�jwymiarowe okre�lanie pozycji i pr�dko�ci u�ytkownika z du�� precyzj� w skali globalnej, niezale�nie od warunk�w meteorologicznych, oraz s�u�b� czasu - (ang. UTC - Coordinated Universal Time). Konstelacja GPS sk�ada si� z 24 satelit�w nawigacyjnych rozmieszczonych r�wnomiernie na sze�ciu ko�owych orbitach podsynchronicznych nachylonych pod k�tem . Kr���c na wysoko�ci oko�o 20183 km nad powierzchni� Ziemi satelity wykonuj� dwa obroty na dob�. Bez przerwy nadaj� one informacj� nawigacyjn� w dw�ch kana�ach L1 (cz�stotliwo�� 1575,42 MHz) i L2 (cz�stotliwo�� 1227,60 MHz). Cz�stotliwo�� obu sygna��w no�nych, a tak�e sygna�y zegarowe steruj�ce generatory ci�g�w pseudolosowych, s� uzyskiwane z tego samego wzorca atomowego o cz�stotliwo�ci 10,23 MHz. Maksymalna niestabilno�� wzorca wynosi 10-12 na dob�. Rys. 6.1. Widmo energetyczne na wyj�ciu nadajnika satelitowego: wyra�nie wida� du�� g�sto�� widmow� sygna�u kluczowanego kodem C/A w kanale L1 i ma�� g�sto�� widmow� sygna�u kluczowanego kodem P w kana�ach L1 i L2 Sygna�y no�ne obu kana��w s� rozpraszane za pomoc� specjalnych binarnych kod�w pseudolosowych (rys. 6.1). Mamy wi�c do czynienia z systemem szerokopasmowym z kluczowaniem fazy przebiegu no�nego. W systemie stosuje si� dwa kody: standardowy C/A (ang. Coarse/Acquisition lub Clear/Acquisition) zapewniaj�cy powszechnie dost�pn� s�u�b� okre�lania pozycji SPS (ang. Standard Positioning Service),i precyzyjny P, zapewniaj�cy precyzyjn� s�u�b� okre�lania pozycji PPS (ang. Precise Positioning Service), dost�pn� tylko dla wojskowych i wybranych rz�dowych organizacji USA. Rys. 6.2. Generator ci�g�w Golda Kod C/A jest kr�tkim kodem, zawiera on 1023 bity, generowane z szybko�ci� 1,023 Mb/s. Kod C/A powtarza si� co milisekund�. Ka�dy satelita nadaje inny ci�g kodowy wybrany z rodziny 1023 ci�g�w Golda (rys. 6.2) w taki spos�b, aby zapewni� mo�liwie ma�� korelacj� wzajemn� mi�dzy ci�gami nadawanymi przez poszczeg�lne satelity. Dzi�ki temu malej� zak��cenia interferencyjne oraz u�atwia si� identyfikacj� satelity i synchronizacj� odbiornika. S�u�ba SPS zosta�a - w sensie operacyjnym - uruchomiona w grudniu 1993 roku, kiedy sta�y si� dost�pne 24 satelity nawigacyjne prototypowe i operacyjne pierwszej generacji. B��d okre�lenia pozycji za pomoc� kodu C/A nie przekracza 100 m (95%) w p�aszczy�nie poziomej i 133 m (95%) w p�aszczy�nie pionowej. Oznacza to, �e 95% wyznacze� pozycji w ustalonym punkcie mie�ci si� wewn�trz okr�gu o promieniu 100 m w p�aszczy�nie poziomej i 133 m w p�aszczy�nie pionowej. B��d ten jest w g��wnej mierze spowodowany celowym wprowadzeniem przez Departament Obrony USA (ang. Department of Defence - DOD) zak��ce� do efemeryd i zegar�w satelit�w nawigacyjnych. Dzia�anie to okre�la si� jako wybi�rcz� dost�pno�� (ang. Selective Availability - SA). Wybi�rcz� dost�pno�� wprowadzono 25 marca 1990 r. Mo�na si� spodziewa�, �e DOD zrezygnuje ze stosowania wybi�rczej dost�pno�ci po roku 2000. B��d okre�lenia czasu UTC nie przekracza 340 ns (95%). Kod P jest bardzo d�ugim kodem, okres powtarzania wynosi 267 d�b. Ci�g kodowy P jest generowany z szybko�ci� 10,23 Mb/s. Ka�demu satelicie przypisano odcinek tego kodu o d�ugo�ci jednego tygodnia. O p�nocy z soboty na niedziel� generatory ci�gu kodowego na satelitach rozpoczynaj� cykl pracy od pocz�tku. Sygna�y no�ne w obu kana�ach s� modulowane (kluczowane) ci�giem P, ci�gi C/A wyst�puj� tylko w kanale L1. Dzi�ki kr�tkiemu okresowi kodu C/A odbiornik �atwo osi�ga synchroniczn� prac�. Po zsynchronizowaniu si� odbiornika z kodem C/A mo�na przej�� do �ledzenia kodu P. Kod C/A u�atwia wi�c synchronizacj� startow�. Bezpo�rednie zsynchronizowanie odbiornika z kodem P wymaga�oby nies�ychanie d�ugiego czasu. B��d okre�lenia pozycji za pomoc� kodu P wynosi 22 m (95%) w p�aszczy�nie poziomej i 27,7 m (95%) w p�aszczy�nie pionowej. B��d okre�lenia czasu nie przekracza 200 ns (95%), a pr�dko�ci - 0,2 m/s (95%). Nad prawid�ow� prac� systemu czuwa operacyjny segment sterowania OCS (ang. Operational Control Segment). Zapewnia on utrzymanie satelit�w na ustalonych pozycjach orbitalnych, monitoruje stan baterii s�onecznych, poziom akumulator�w itp. OCS kontroluje stan zegar�w satelitowych, uaktualnia efemerydy i almanach raz na dob� lub w miar� potrzeby. OCS sk�ada si� z Centralnej Stacji Sterowania MCS (ang. Master Control Station) w Colorado Springs i kilku odleg�ych stacji monitoruj�cych RMS (ang. Remote Monitor Station). 6.2. Konstelacja GPS Konstelacja GPS sk�ada si� z 24 satelit�w nawigacyjnych rozmieszczonych na sze�ciu ko�owych orbitach podsynchronicznych, po cztery satelity na ka�dej orbicie (rys. 6.3). Orbity s� r�wnomiernie rozmieszczone wzd�u� r�wnika, co 600. Inklinacja wszystkich orbit jest jednakowa i wynosi 550. Kr���c na wysoko�ci oko�o 20183 km nad powierzchni� Ziemi satelity wykonuj� dwa obroty na dob� syderyczn�. Rysunek 6.4 przedstawia rzut p�aski konstelacji z godziny 00.00 1 lipca 1993 roku (UTC). Ka�da orbita zosta�a "rozci�ta" i "u�o�ona" na p�aszczy�nie. Podobnie post�piono z r�wnikiem ziemskim. Nachylenie odcink�w reprezentuj�cych orbity odpowiada ich inklinacjom, r�wnym 550. Po�o�enie orbit wzgl�dem Ziemi opisuj� rektascencje w�z��w wst�puj�cych. Po�o�enie satelit�w na orbitach okre�laj� anomalie �rednie. Rozw�j satelit�w nawigacyjnych GPS odbywa� si� w kilku fazach, poczynaj�c od po�owy lat 70. i jest ci�gle kontynuowany. Satelity opracowane w poszczeg�lnych fazach nazywa si� blokami. Blok I obejmowa� satelity prototypowe, kt�rych zadaniem by�o sprawdzenie s�uszno�� koncepcji i ocenienie przydatno�ci systemu GPS. Satelity tego bloku by�y umieszczane na orbitach w latach 1978 1985. Jesieni� 1995 roku wy��czono z ruchu ostatniego satelit� prototypowego. Blok II obejmuje pierwsze satelity produkcyjne, blok IIA - udoskonalone satelity produkcyjne. S� one obecnie u�ywane jako satelity operacyjne. Blok IIR obejmuje satelity uzupe�niaj�ce(rys. 6.5), b�d� one umieszczane na orbitach w latach 1997 - 2004. Po roku 2004 przewiduje si� wprowadzenie bloku IIF. Rys. 6.3. Konstelacja satelit�w GP Rys. 6.4. Rzut p�aski konstelacji satelit�w GPS Rys. 6.5. Satelita GPS z bloku IIR Wyposa�enie nawigacyjne satelit�w GPS (rys. 6.6) zapewnia odbi�r danych z OCS, komunikacj� mi�dzy satelitami (tylko satelity blok�w IIR i IIF) oraz nadawanie sygna��w nawigacyjnych do u�ytkownik�w. Sygna�y telemetryczne, rezultaty �ledzenia satelit�w i sygna�y telesterowania s� gromadzone w pami�ci komputera pok�adowego, kt�ry wykorzystuje je odpowiednio do przygotowania informacji nawigacyjnej. Na pok�adzie ka�dego satelity znajduj� si� dwa cezowe i dwa rubidowe zegary atomowe (satelity bloku IIR s� wyposa�one w jeden cezowy i dwa rubidowe zegary atomowe). Jeden z tych zegar�w jest traktowany jako podstawowy i jest odniesieniem czasu i cz�stotliwo�ci dla wszystkich urz�dze� nawigacyjnych. Pozosta�e zegary stanowi� redundancj�. Generatory kod�w pseudolosowych generuj� kody C/A i P, do kt�rych dodaje si� modulo 2 informacj� nawigacyjn�, a nast�pnie doprowadza do nadajnik�w pasma L. Nadajniki te tworz� sygna�y o rozproszonym widmie w kana�ach L1 i L2, kt�re s� nast�pnie wypromieniowane w kierunku Ziemi za pomoc� odpowiednich anten. Rys. 6.6. Wyposa�enie nawigacyjne satelity GPS 6.3. Informacja nawigacyjna Ka�dy satelita nadaje w obu kana�ach jednakow� informacj� nawigacyjn�, umo�liwiaj�c� u�ytkownikowi systemu dok�adne okre�lenie po�o�enia satelity. Informacja nawigacyjna zawiera 1500 bit�w i jest przesy�ana z szybko�ci� 50 b/s. D�ugo�� ramki zawieraj�cej informacj� nawigacyjn� wynosi wi�c 30 s. Ramka jest podzielona na 5 subramek, ka�da o d�ugo�ci 6 s (rys. 6.7). Ka�da subramka zawiera 10 s��w trzydziestobitowych. Pierwsze s�owo (TLM) zawiera informacje telemetryczne, drugie (HOW - ang. Hand over Word) - umo�liwia synchronizacj� odbiornika z kodem P. Pozosta�e osiem s��w w ka�dej subramce s� informacjami nawigacyjnymi przeznaczonymi dla u�ytkownika. Blok 1 zawiera dane umo�liwiaj�ce korekt� czasu, ze wzgl�du na dryf generator�w pok�adowych, a tak�e ze wzgl�du na op�nienie fali w jonosferze. Bloki 2 i 3 zawieraj� efemerydy satelity nadaj�cego informacj� (tab. 6.1). Blok 4 jest wykorzystywany do przesy�ania informacji alfanumerycznej. Blok 5 (almanach) zawiera przybli�one informacje o po�o�eniu pozosta�ych satelit�w. Informacje te nie mieszcz� si� w jednej subramce, do przes�ania pe�nej informacji wykorzystuje si� 19 kolejnych ramek. Almanach powtarza si� wi�c co 570 s. Rys. 6.7. Organizacja ramki informacji nawigacyjnej: TLM - informacja telemetryczna, HOW (ang. Hand over Word) - synchronizacja kodu P Tabela 6.1 Efemerydy satelit�w GPS Czas odniesienia Pierwiastek kwadratowy z wielkiej p�osi Mimo�r�d Inklinacja (w momencie ) Rektascencja w�z�a wst�puj�cego (w epokach tygodniowych) Argument perigeum (w momencie ) Anomalia �rednia ( w momencie ) Szybko�� zmiany inklinacji Szybko�� zmiany rektascencji w�z�a wst�puj�cego Korekcja �redniego ruchu Kosinusowy wsp�czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko�ci Sinusowy wsp�czynnik korekcyjny dla argumentu szeroko�ci Kosinusowy wsp�czynnik korekcyjny dla promienia orbity Sinusowy wsp�czynnik korekcyjny dla promienia orbity Kosinusowy wsp�czynnik korekcyjny dla inklinacji Sinusowy wsp�czynnik korekcyjny dla inklinacji 6.4. Okre�lenie pozycji u�ytkownika System GPS jest systemem odleg�o�ciowym. Okre�lenie pozycji u�ytkownika polega na pomiarze odleg�o�ci do wybranych satelit�w nawigacyjnych i wyznaczenie powierzchni nawigacyjnych w postaci sfer, kt�rych przeci�cie si� jest poszukiwan� pozycj�. Pomiar odleg�o�ci od odbiornika nawigacyjnego (u�ytkownika) do satelity nawigacyjnego odbywa si� poprzez pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - odbiornik nawigacyjny. Rys. 6.8. Wektor pozycyjny u�ytkownika u, wektor pozycyjny satelity nawigacyjnego s w uk�adzie wsp�rz�dnych ECEF oraz wektor odleg�o�ci r mi�dzy u�ytkownikiem i satelit� Tabela 6.2 Obliczanie wsp�rz�dnych satelity GPS w uk�adzie ECEF (1) Wielka p�o� (2) Skorygowany ruch �redni (3) Up�yw czasu od epoki efemeryd (4) Anomalia �rednia (5) Anomalia mimo�rodowa (rozwi�-zanie iteracyjne wzgl�dem )(6) Anomalia rzeczywista (7) Argument szeroko�ci (8) Argument korekcji szeroko�ci (9) Korekcja promienia (10) Korekcja inklinacji (11) Skorygowany argument szeroko�ci (12) Skorygowany promie� (13) Skorygowana inklinacja (14) Skorygowana rektascencja w�z�a (15) (16) (17) Wsp�rz�dna x w uk�adzie ECEF (18) Wsp�rz�dna y w uk�adzie ECEF (19) Wsp�rz�dna z w uk�adzie ECEF Rys. 6.8. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita nawigacyjny - odbiornik poprzez okre�lenie maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci�gu pseudolosowego generowanego na satelicie i repliki tego kodu wytwarzanego w odbiorniku nawigacyjnym Na rysunku 6.7 pokazano u�ytkownika, kt�rego po�o�enie okre�la w uk�adzie ECEF wektor pozycyjny u (nieznany) o sk�adowych i satelit� nawigacyjnego, kt�rego po�o�enie w tym samym uk�adzie wsp�rz�dnych okre�la wektor pozycyjny s (znany po zdekodowaniu informacji nawigacyjnej, patrz tabela X.3) o sk�adowych ; odleg�o�� od u�ytkownika do satelity nawigacyjnego opisuje wektor r. Mi�dzy wektorami r, s, i u zachodzi zwi�zek (6.1) Modu� wektora odleg�o�ci (6.2) jest znany na podstawie pomiaru czasu propagacji fali elektromagnetycznej. Pomiar czasu propagacji fali elektromagnetycznej na trasie satelita - u�ytkownik ilustruje rysunek 6.8. Charakterystyczny element sygna�u pseudolosowego zostaje wypromieniowany z satelity w momencie . Element ten dociera do odbiornika nawigacyjnego w momencie , po up�ywie t sekund potrzebnych na przebycie przez fal� elektromagnetyczn� odleg�o�ci r. W odbiorniku nawigacyjnym wyznacza si� maksimum funkcji korelacji wzajemnej ci�gu pseudolosowego nadawanego przez satelit� i repliki tego ci�gu odtworzonej w odbiorniku. Po�o�enie tego maksimum wyznacza czas propagacji fali t. Gdyby zegar satelity i zegar odbiornika by�y zsynchronizowane z czasem systemowym, to - po pomno�eniu t przez pr�dko�� rozchodzenia si� fal elektromagnetycznych c - otrzymaliby�my odleg�o�� geometryczn� odbiornika nawigacyjnego od satelity Odleg�o�� geometryczna = = ct, (6.3) przy czym: - czas systemowy, w kt�rym sygna� nawigacyjny zosta� wypromieniowany z satelity; - czas systemowy, w kt�rym sygna� nawigacyjny dotar� do odbiornika nawigacyjnego. Rys. 6.9. Zale�no�ci czasowe przy pomiarze odleg�o�ci do satelity GPS: - czas systemowy, w kt�rym sygna� nawigacyjny zosta� wypromien